Normaaldeler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler (synoniem: normale deelgroep) een deelgroep, waarvan de nevenklassen op natuurlijke wijze een groep vormen.

Definitie[bewerken]

Zij een groep, en een deelgroep van . Men zegt dat een normaaldeler is van als voor alle elementen en geldt

Men noteert dit vaak als:

Men schrijft ook wel

waarin

Voorbeelden[bewerken]

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

.

Algemener is het centrum Z(G) van een groep (de elementen die met ieder ander element commuteren), een normaaldeler van . Ook elke deelgroep van Z(G) is normaal in G.

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep .

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep is de deelgroep (de cyclische deelgroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat

De alternerende groep heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep der rotaties in vormen de rotaties om de -as een deelgroep die niet normaal is. Men noemt simpel omdat hij geen echte Lie-deelgroepen heeft die normaal zijn.

In de groep GL(n,K) der omkeerbare nxn-matrices over een lichaam K, is de Speciale lineaire groep SL(n,K) der matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

Nevenklassen[bewerken]

Als D een deelgroep is van G, en g is een element van G, dan noemt men

de linkernevenklasse van D met vertegenwoordiger g. De verzameling van alle linkernevenklassen van D noteren we G/D. Ze vormt een partitie van . Analoog voor G\D, de partitie der rechternevenklassen van D. Als D een normaaldeler is, vallen deze twee noties samen en spreken we kortweg van nevenklassen. In dat geval wordt op G/D ook een groepsbewerking gedefinieerd. Deze groep heet de factorgroep of quotiëntgroep. De afbeelding

is een homomorfisme van groepen met D als kern. Hieruit volgt dat een deelgroep normaal is als en slechts als hij de kern van een homomorfisme is.

Normalisator[bewerken]

De normalisator van een deelgroep is gedefinieerd als

Het is de grootste deelgroep van waarin nog normaal is.