Normaaldeler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler (synoniem: normale deelgroep) een deelgroep, waarvan de nevenklassen op natuurlijke wijze een groep vormen.

Definitie[bewerken]

Zij (G,\cdot) een groep, en D een deelgroep van G. Men zegt dat D een normaaldeler is van G als voor ieder element g\in G geldt

g^{-1}\cdot D\cdot g\subset D

Hier verstaan we onder

g^{-1}\cdot D\cdot g

de verzameling

\left\{g^{-1}\cdot d\cdot g | d\in D\right\}

Men noteert dit feit vaak als volgt:

D\triangleleft G

Voorbeelden[bewerken]

Als G abels is, dan is elke deelgroep normaal omdat

g^{-1}\cdot d\cdot g=d.

Algemener is het centrum Z(G) van een groep (de elementen die met ieder ander element commuteren), een normaaldeler van G. Ook elke deelgroep van Z(G) is normaal in G.

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met n elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep \mathcal{A}_n.

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep \mathcal{S}_3 is de deelgroep \left\{\hbox{id},(1 2)\right\} (de cyclische deelgroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat (1 3)(1 2)(1 3)=(2 3)

De alternerende groep \mathcal{A}_5 heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep SO(3) der rotaties in \mathbb{R}^3 vormen de rotaties om de z-as een deelgroep die niet normaal is. Men noemt SO(3) simpel omdat hij geen echte Lie-deelgroepen heeft die normaal zijn.

In de groep GL(n,K) der omkeerbare nxn-matrices over een lichaam K, is de Speciale lineaire groep SL(n,K) der matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

Nevenklassen[bewerken]

Als D een deelgroep is van G, en g is een element van G, dan noemt men

gD:=\left\{g\cdot d|d\in D\right\}

de linkernevenklasse van D met vertegenwoordiger g. De verzameling van alle linkernevenklassen van D noteren we G/D. Ze vormt een partitie van G. Analoog voor G\D, de partitie der rechternevenklassen van D. Als D een normaaldeler is, vallen deze twee noties samen en spreken we kortweg van nevenklassen. In dat geval wordt op G/D ook een groepsbewerking gedefinieerd. Deze groep heet de factorgroep of quotiëntgroep. De afbeelding

G\to G/D:g\mapsto gD

is een homomorfisme van groepen met D als kern. Hieruit volgt dat een deelgroep normaal is als en slechts als hij de kern van een homomorfisme is.

Normalisator[bewerken]

De normalisator van een deelgroep D is gedefinieerd als

N(D):=\left\{g\in G|g\cdot D=D\cdot g\right\}

Het is de grootste deelgroep van G waarin D nog normaal is.