Strookpatroongroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De 7 strookpatroongroepen

Strookpatroongroepen zijn symmetriegroepen in 2D die in precies één richting discrete translaties bevatten. Door herhaling in die richting van eenheden kunnen in een vlak patronen worden gevormd. In de beschrijving en afbeeldingen wordt hier uitgegaan van een horizontale translatievector.

Strookpatronen worden onder andere toegepast in de architectuur als friezen.

Er zijn (afgezien van positie en stand, en van de grootte van de translatie) exact 7 strookpatroongroepen, die ieder behalve uit de zich repeterende translatie uit nul of meer van de volgende isometrieën zijn opgebouwd:

Een glijspiegeling is een combinatie van een spiegeling in de verticale lijn en een transformatie. Patroon 2 wordt bijvoorbeeld ook door een glijspiegeling opgebouwd, maar die valt binnen deze gegeven definitie. In de patronen 4, 6 en 7 komt ook een glijspiegeling voor. Een rotatie komt overeen met tegelijk een spiegeling in de horizontale en in de verticale lijn.

De eventuele rotatiepunten liggen op één lijn. Bij spiegeling in een horizontale lijn is er maar één zo'n lijn. Bij combinatie met rotatie betreft het dezelfde lijn. De bij strookpatroongroepen aan de orde zijnde isometrieën van het vlak bij een gegeven translatierichting komen 1-op-1 overeen met isometrieën van een oneindige strook in die richting, hier dus een horizontale oneindige strook (lint, band).

De 7 strookpatronen staan hieronder genoemd en rechts afgebeeld. Er staat niet steeds bij dat zij ook door de translatievector worden voortgebracht.

  • met chirale versie C, dus zonder rotatie:
    • 1. C, uitsluitend voortgebracht door de translatievector, algebraïsch: Z.
    • 2. S, voortgebracht door de translatievector met tegelijk een spiegeling over de horizontale lijn, of gelijk daaraan voortgebracht door een glijspiegeling, S heeft ook een zuivere translatie van tweemaal de genoemde translatievector, algebraïsch: Z.
    • 3. C∞h, voortgebracht door een spiegeling in een horizontale lijn, algebraïsch: Z × C2.
    • 4. C∞v, voortgebracht door een spiegeling in een verticale lijn, algebraïsch: D, de oneindige dihedrale groep
  • met chirale versie D, met een rotatie:
    • 5. D, voortgebracht door uitsluitend een rotatie over 180°, algebraïsch: D
    • 6. D∞d, voortgebracht door een rotatie over 180° en een spiegeling over een verticale lijn, algebraïsch: D
    • 7. D∞h, voortgebracht door de volgende drie: een spiegeling in een horizontale lijn, een spiegeling in een verticale lijn en een rotatie over 180°, algebraïsch: D × C2.


Strookpatroongroepen zijn nauw verwant aan de zeven reeksen van symmetriegroepen in 3D met bij de laatste rotatie in plaats van translatie, en zijn min of meer te beschouwen als het geval n = ∞, de notatie is daar ook op gebaseerd. Strookpatroongroepen zijn in zoverre eenvoudiger dat er geen onderscheid aan de orde is tussen even en oneven n, en ook geen uitzonderingen voor kleine waarden van n; ook speelt alles zich af in 2D. Daar staat tegenover dat de groepen oneindig groot zijn.