Symmetrie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Figuur met zowel draaisymmetrie als spiegelsymmetrie.

Men spreekt van symmetrie (Grieks: συν, samen en μετρον, maat) bij een object als twee helften van het object in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn. Dit spiegelen kan ten opzichte van een punt, een lijn of een vlak zijn. Meer algemeen is een symmetrie van een object een bepaalde verschuiving, draaiing of spiegeling of combinatie hiervan die het object op zichzelf afbeeldt (invariant laat).

  • De letter A is symmetrisch ten opzichte van de verticale as.
  • De letter E is dat ten opzichte van de horizontale as.

Symmetrie in 1D, 2D en 3D[bewerken]

Voor een object (waaronder een figuur) in 1D, 2D en 3D zijn er de volgende soorten symmetrie (symmetrieoperatie, symmetrie-element, element van de symmetriegroep):

  • Invariantie onder een bepaalde verschuiving: translatiesymmetrie
  • Invariantie onder een bepaalde draaiing: draaisymmetrie (zie ook rozet)
  • Invariantie onder een bepaalde spiegeling: spiegelsymmetrie
  • Invariantie onder een bepaalde combinatie hiervan, zoals de glijspiegeling. Een object dat niet door een bepaalde verschuiving of spiegeling op zichzelf wordt afgebeeld, wordt dat mogelijk wel door de combinatie. Zie voor de andere combinaties euclidische isometrie.

Men spreekt van draaisymmetrie als een object na draaiing over een bepaalde hoek in zichzelf overgaat.

Bij spiegelsymmetrie in twee dimensies is er lijn, de spiegelas, ten opzichte waarvan het object na spiegeling hetzelfde blijft. In drie dimensies betreft het de spiegeling ten opzichte van een vlak, het spiegelvlak.

Een symmetrie van een voorwerp impliceert vaak meerdere symmetrieën. Als een bepaalde verschuiving een object invariant laat dan ook een verschuiving over een veelvoud van de afstand, en analoog bij draaiing.

Ook kan een voorwerp meerdere symmetrieën hebben waarvan de ene niet uit de andere voortvloeit. Zo bezit een vierkant vier symmetrieassen: een horizontale, een verticale en twee diagonale. Daarnaast is het vierkant ook puntsymmetrisch en draaisymmetrisch. Bij cirkelsymmetrie zijn er oneindig veel symmetrieassen en is er ook draaisymmetrie over willekeurige hoeken. Een cilinder heeft een oneindig aantal verticale spiegelvlakken en één horizontaal. De verticale as is een draaias over iedere willekeurige hoek. In het horizontale spiegelvlak een oneindig aantal draaiassen waarlangs het voorwerp 180° gedraaid kan worden (tweetallige assen) en in het middelpunt bevindt zich een inversiecentrum. Bolsymmetrie of sferische symmetrie treedt op in drie dimensies als een grootheid alleen afhangt van de afstand tot een middelpunt; er zijn dan draaiassen in alle richtingen.

Puntsymmetrie is invariantie onder puntspiegeling: in 1D is dit hetzelfde als spiegelsymmetrie, in 2D hetzelfde als draaisymmetrie met een draaiing over 180°, en in 3D invariantie onder inversie (3D-puntspiegeling is een bepaalde vorm van draaispiegeling).

Asymmetrie[bewerken]

Als een object geen enkele vorm van symmetrie heeft (en de symmetriegroep dus de triviale groep is) wordt het asymmetrisch genoemd. Zo zit het hart van de mens niet precies in het midden van het lichaam, het lichaam is daarmee dus eigenlijk asymmetrisch, hoewel het uitwendig zoals bij vele dieren symmetrisch is.

Esthetica en kunst[bewerken]

Symmetrie in de 18e-eeuwse bouwkunst: Paviljoen Welgelegen in Haarlem.
Byzantijns miniatuur uit de 6de eeuw

Symmetrie en asymmetrie zijn erg belangrijk in de beeldende kunst en de bouwkunst. Symmetrie wordt veel toegepast in volkskunst, kerken, rozetten en islamitische kunst.

Symmetrie zorgt er niet per se voor dat een voorwerp mooi is. Symmetrie kan, evenals bijvoorbeeld het materiaal en kleurgebruik, een rol spelen bij de esthetica van een kunstwerk. Symmetrische kunstwerken hebben dikwijls een evenwichtige en rustige aanblik. Bijvoorbeeld bij Byzantijnse kunst speelt centrale symmetrie een belangrijk rol, bij dit soort werken is er vaak verticale as aan te wijzen.

De ervaring van schoonheid in een menselijk gezicht hangt onder meer af van de symmetrie ervan.

Kristallografie[bewerken]

In de kristallografie speelt de leer der symmetrieën een bijzonder grote rol. Bij het oplossen van een kristalstructuur door middel van röntgendiffractie is het bepalen van de symmetrie van het kristal (een van de 230 ruimtegroepen) in het algemeen de eerste stap.

Generalisaties[bewerken]

Een generalisatie is inversiesymmetrie (zie inversie).

Het begrip symmetrie kan wiskundig ook uitgebreid worden tot schaalvergroting en -verkleining of het omkeren van de tijd.

Kwantummechanica en spectroscopie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Moleculaire symmetrie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Ook in de kwantummechanica bij het oplossen van de Schrödingervergelijking is het van groot belang de symmetrie van het onderhavige probleem bij voorbaat door middel van de groepentheorie in rekening te brengen. De symmetrie bepaalt namelijk vaak hoeveel energietoestanden er in totaal zijn en wat hun ontaardingsgraad is. De lijnen van een spectrum worden daarom vaak gekenmerkt door de symmetrie van de toestanden die bij de overgang betrokken zijn.

Verzamelingenleer[bewerken]

Een binaire relatie op een verzameling heet symmetrisch als ze onveranderlijk is bij het verwisselen van de begin- en eindpunten van de koppels.

Zie ook[bewerken]