Viergroep van Klein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de viergroep van Klein (of gewoon viergroep, vaak gesymboliseerd door de letter V ) de symmetriegroep van de rechthoek. De viergroep van Klein is ontdekt door Felix Klein. Klein gaf de naam Vierergruppe aan deze groep in zijn Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade uit 1884.

De viergroep van Klein is isomorf met de groep Z2 × Z2, het direct product van twee exemplaren van de cyclische groep van orde 2.

De viergroep van Klein is abels en alle elementen in de viergroep, behalve de identiteit, hebben de orde 2. De enige andere groep dan de viergroep met vier elementen is de cyclische groep van orde vier (zie ook de lijst van kleine groepen). De viergroep is de kleinste niet-cyclische groep.

Cayley-tabel[bewerken]

De Cayley-tabel van de viergroep van Klein wordt gegeven door:

* 1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1

Concrete voorbeelden[bewerken]

De vermenigvuldiging van de oneven gehele getallen modulo 8 heeft de structuur van de viergroep van Klein:

* 1 3 5 7
1 1 3 5 7
3 3 1 7 5
5 5 7 1 3
7 7 5 3 1

Daarnaast geldt ook dat de symmetrieën van de ruit de structuur heeft van de viergroep van Klein heeft. Er zijn vier symmetrieën van de ruit:

Nu ziet de samenstellingstabel er als volgt uit:

* id Sx Sy H
id id Sx Sy H
Sx Sx id H Sy
Sy Sy H id Sx
H H Sy Sx id

Tussen twee groepen met de structuur van de viergroep van Klein is heel simpel een isomorfisme te definiëren. Als we de vermenigvuldiging van oneven getallen modulo 8 en de symmetrieën van de ruit nemen kunnen we het volgende isomorfisme maken:

f(1) = id
f(3) = Sx
f(5) = Sy
f(7) = H

Bij een isomorfisme tussen twee viergroepen van Klein ligt alleen vast dat het eenheidselement van de ene groep naar het eenheidselement van de andere groep wordt afgebeeld, de andere 3 zijn vrij te kiezen.

Zie ook[bewerken]

Externe bron[bewerken]