Algemene lineaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde over een unitaire ring , aangeduid door of , de groep bestaande uit de verzameling van inverteerbare -matrices met elementen in , met als groepsoperatie de gewone matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar, is inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen vinden toepassing in de theorie van de groepsrepresentaties en bij de studie naar symmetrieën.

Als de ring een eindig lichaam is met een priemgetal of een macht van een priemgetal, schrijft men wel in plaats van . Als uit de context blijkt dat de ring het lichaam/veld van de reële getallen of van de complexe getallen is, wordt ook eenvoudig of geschreven.

Voor alle is de groep niet abels. De groep is abels als een commutatieve ring is.

De speciale lineaire groep, geschreven als of , is de ondergroep van bestaande uit matrices met determinant gelijk aan 1.

De groepen en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd. Het is een voorwaarde dat een groep is. Wanneer dit het geval is, is een lineaire groep maar geen matrixgroep. De modulaire groep kan worden gerealiseerd als een quotiëntgroep van de speciale lineaire groep .

Bronnen[bewerken]