Splijtlichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het splijtlichaam van een polynoom met coëfficiënten in een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) K, de kleinste velduitbreiding van dat lichaam / veld, waarin het polynoom in lineaire factoren kan worden ontbonden. Een splijtlichaam is dus een algebraïsche uitbreiding van K.

Definitie[bewerken]

Het splijtlichaam van een polynoom f(x) over een lichaam K is een uitbreiding L van K waarover f in lineaire factoren kan worden ontbonden

f(x) = \prod_{i=1}^{\deg(f)} (x - a_i) \in L[x]

en zodanig dat de coëfficiënten ai L over K genereren. De uitbreiding L is dan een uitbreiding van minimaal graad over K, waarin f splitst. Het kan worden aangetoond dat zulke splitsende lichamen / velden bestaan ​​en uniek zijn tot op een isomorfisme. De mate van vrijheid in dat isomorfisme staat bekend als de Galoisgroep van f, verondersteld dat de nulpunten van het polynoom met wortels zijn te schrijven.