Splijtlichaam

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een splijtlichaam van een polynoom met coëfficiënten in een lichaam (Nederlands) / veld (Belgisch) $K,$ een kleinste lichaams/velduitbreiding van dat lichaam/veld, waarin de polynoom in lineaire factoren kan worden ontbonden. Een splijtlichaam is dus een algebraïsche uitbreiding van $K.$

Definitie

Een splijtlichaam van een polynoom $p$ van de graad $n>0$ over een lichaam $K,$ dus met coëfficiënten in $K,$ is een uitbreiding $L$ van $K$ waarover $p$ in lineaire factoren kan worden ontbonden en zodanig dat de nulpunten $(a_{i})$ van de polynoom de uitbreiding $L$ over $K$ genereren. d.w.z.

$p(x)=c\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}),c\in K,a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$

en

$L=K(a_{1},\ldots ,a_{n})$

Een splijtlichaam $L$ is een uitbreiding van minimale graad over $K,$ waarin $p$ uiteenvalt. Het kan worden aangetoond dat zulke splijtichamen bestaan en op isomorfie na uniek zijn. De mate van vrijheid in dat isomorfisme staat bekend als de galoisgroep van $p,$ gesteld dat de nulpunten van de polynoom algebraïsch zijn, dus met wortels zijn te schrijven.