Stelling van Lagrange (groepentheorie)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, legt de stelling van Lagrange een verband tussen de orde van een eindige groep en die van zijn ondergroepen. De stelling zegt dat de orde van een ondergroep een deler is van de orde van de groep. Anders gezegd: het aantal elementen van de groep is een geheel veelvoud van het aantal elementen van een ondergroep. De stelling is vernoemd naar Joseph Lagrange.

Definitie

Zij $G$ een eindige groep en $H\subseteq G$ een ondergroep van $G$. Volgens de stelling van Lagrange is dan de orde van $H$ een deler van de orde van $G$, d.w.z.:

$\exists {n\in \mathbb {N} }:|G|=n\cdot |H|$

In woorden: het aantal mogelijke permutaties (combinaties) van de hoofdgroep $G$ is altijd een geheel, positief veelvoud ($n$) van het aantal mogelijk permutaties van de subgroep $H$.

Bewijs van de stelling van Lagrange

Allereerst definiëren we de relatie $\sim$ op $G$ als volgt

$\forall {a,b\in G}:(a\sim b\leftrightarrow \exists {h\in H}:a=hb)$

Van $\sim$ zullen we aantonen dat het een equivalentierelatie op $G$ is.

• Reflexiviteit: Omdat $H$ een ondergroep van $G$ is, erft $H$ het neutraal element van $G$, $e_{G}$, over. We zien nu dat

$\forall {g\in G}:g=e_{G}g$ en $e_{G}\in H$, dus $g\sim g$.

• Symmetrie: Laat $a,b\in G$ en $a\sim b$. Er geldt nu dat

$(\exists {h\in H}:a=hb)\Rightarrow (\exists {h'=h^{-1}\in H}:b=h'a)\Rightarrow b\sim a$.

• Transitiviteit: Laat $a,b,c\in G$ met $a\sim b$ en $b\sim c$. Dan

$\exists {h\in H}:b=ha$ en ook $\exists {h'\in H}:c=h'b$. Omdat $H$ een groep is, geldt $h''=h'h\in H$, zodat

$\exists {h''\in H}:c=h'b=h'ha=h''a$, en dus $a\sim c$.

Hieruit concluderen we dat $\sim$ een equivalentierelatie op $G$ is. Omdat

$\forall {g,g'\in G}:g\sim g'\leftrightarrow g\in Hg'$

zijn de rechternevenklassen $\{Hg|g\in G\}$ van $H$ in $G$ de equivalentieklassen. Equivalentieklassen vormen een partitie van $G$, en dus is

${\Big |}\bigcup _{g\in G}Hg{\Big |}=|G|$

Ten slotte merken we op dat

$\forall {g\in G}\forall {h,h'\in H}:h\neq h'\leftrightarrow hg\neq h'g$

Dit betekent dat

$\forall {g\in G}:|Hg|=|H|$

Hieruit volgt automatisch dat $|H|$ een deler is van $|G|$.

Opmerking

Dit bewijs is geleverd met rechternevenklassen, maar we hadden net zo goed gebruik kunnen maken van linkernevenklassen.

Index

Op grond van de stelling van Lagrange kan men zich afvragen hoeveel disjuncte nevenklassen $H$ in $G$ heeft, oftewel wat de waarde van $|G|/|H|$ is. Dit noemt men de index van $H$ in $G$. Men noteert dit als:

$[G:H]=|G|/|H|$

Zie ook

• Groep (wiskunde),
• Ondergroep,
• Stelling van Cayley,
• Stelling van Burnside,
• Stellingen van Sylow,
• Nevenklasse