Koorde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Figuur 1. \angle{APB} en \angle{AQB} zijn supplementaire hoeken op koorde AB

Een koorde is het lijnstuk dat twee punten op een cirkel met elkaar verbindt. De lijn die men krijgt door dit lijnstuk te verlengen heet de secantlijn. Middellijnen van een cirkel zijn ook koorden.

Figuur 2. De Stelling van Thales zegt dat de rode en de gele hoek gelijk zijn (namelijk exact 90°)

Geschiedenis[bewerken]

De koorde werd vroeger veel gebruikt in de goniometrie of meetkunde. In tegenstelling tot de moderne goniometrie, die gebaseerd is op de sinus en de cosinus, was de goniometrie in de oudheid gebaseerd op de koorde. De koorde en de bijbehorende hoek werden bepaald via een tabel. De eerst bekende goniometrische tabel werd opgesteld door Hipparchus. Uit deze tabel kon men de lengte van de koorde van een middelpuntshoek \alpha (Figuur 3) aflezen en vice versa. Hipparchus berekende de koorde voor elke 7,5 graad. Tabel 1 is een voorbeeld van een koordentabel voor een cirkel met straal 1, in stappen van 10 graden.

Tabel 1: Koordentabel
α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 180°
Koorde(α) 0,0000 0,1743 0,3473 0,5176 0,6840 0,8452 1,0000 1,1472 1,2856 1,4142 2,0000

In de tweede eeuw n.Chr. werd deze tabel verbeterd door Claudius Ptolemaeus uit Alexandria in zijn boek Almagest. Hij maakte een koordentabel met stappen van 1/2 graad. Hipparchus zou een twaalfdelig boek over koorden geschreven hebben dat verloren is gegaan. Vermoedelijk was er in die tijd veel bekend over koorden. De koorde is vervangen door de sinus- en cosinusfunctie, deze functies werden opgesteld in India (rond 450 n.Chr.) en via Arabische wiskundige geïntroduceerd in Europa.

Eigenschappen[bewerken]

  • Twee koorden van eenzelfde cirkel hebben dezelfde afstand tot het middelpunt dan en slechts dan als de koorden gelijke lengte hebben.
  • De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel.
  • Een koorde AB verdeelt de cirkel in twee cirkelbogen. Als punt een P de ene, en een punt Q de andere cirkelboog doorloopt dan hebben de hoeken \angle{APB} en \angle{AQB} elk een vaste waarde. Bovendien zijn die twee hoeken supplementair. Is de koorde een middellijn, dan is de hoek recht (Stelling van Thales).
  • Gegeven twee koorden AB en CD die elkaar snijden in een punt P (eventueel in het verlengde van de koorden). Dan geldt:
PA\cdot PB = PC \cdot PD. = de macht van punt P ten opzichte van de cirkel.
  • De lijn die vanaf het middelpunt van de cirkel loodrecht op de koorde valt wordt de Apothema genoemd. De afstand van de koorde tot de cirkelrand wordt de Pijl genoemd, in andere talen de Sagitta. De gezamenlijke lengte van de Apothema en de Sagitta is gelijk aan de straal (radius) van de cirkel.
Figuur 3. Een willekeurige koorde met bijbehorende middelpuntshoek
  • In een willekeurige cirkel kan de lengte van de koorde k worden berekend uit de straal R en de middelpuntshoek \alpha:
k=2 \cdot R \cdot \sin (\tfrac12 \alpha)

Koordefunctie[bewerken]

De koordefunctie wordt geometrisch gedefinieerd met behulp van Figuur 3. De koorde van een hoek  \alpha is gelijk aan de lengte van de lijn tussen de twee snijpunten van de benen van de hoek met de eenheidscrikel. De koordefunctie kan eenvoudig uitgedrukt worden in de sinus van de halve hoek.

\mathrm{krd}(\alpha) = 2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right).

Is de cirkel geen eenheidscirkel, maar een cirkel met straal R, dan geldt:

\mathrm{krd}(\alpha) = 2 R \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right).


Vanwege de eenvoudige relatie met de sinus van de halve hoek voldoet de koorde aan analoge identiteiten als de sinus en cosinus. Zo leidt de stelling van Pythagoras tot de identiteit:

\mathrm{krd}^2 \alpha+ \mathrm{krd}^2 (180^\circ - \alpha) = 4,

wat gemakkelijk gezien kan worden in de rechthoekige driehoek met de beide koorden als rechthoekszijden en de middellijn als hypothenusa.

Generalisatie[bewerken]

Bij uitbreiding wordt het woord koorde ook gebruikt voor het verbindingslijnstuk van twee punten op een andere kromme dan een cirkel.

Ook in de ruimtemeetkunde wordt het begrip koorde gebruikt. Een koorde is het lijnstuk dat twee punten van een ruimtekromme of van een oppervlak verbindt. De koorde maakt (over het algemeen) geen deel uit van de ruimtekromme of van het oppervlak.

Ten slotte wordt het woord koorde ook gebruikt voor een lijnstuk dat twee punten op een grafiek verbindt.[1]

Zie ook[bewerken]