Macht (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Geometric description of the power of a circle

De macht van een punt A ten opzichte van een cirkel met middelpunt O en straal r is gedefinieerd als

p_A=(AO)^2-r^2.

Punten in het inwendige van een cirkel hebben negatieve macht, in het uitwendige positieve macht, en punten op de cirkel hebben een macht gelijk aan nul. De minimale macht is -r2.

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel C is een cirkel concentrisch met C.


Alternatieve berekening[bewerken]

AP*AQ=AN*AM

Nemen we een lijn door A, die de cirkel snijdt in punten P en Q, dan blijkt dat p_A= AP \cdot AQ, waarbij AP en AQ tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn.

Bewijs[bewerken]

Veronderstel A in het uitwendige van de cirkel.

Deze alternatieve berekening is duidelijk correct voor het bijzondere geval dat we voor de lijn AO nemen, want dan p_A= AP \cdot AQ = (AO-r)(AO+r), zoals gewenst.

Neem voor het algemene geval de lijn AO als hulplijn en noem de snijpunten met de cirkel N en M zoals in de figuur. Nu geldt  \angle PQN = \angle PMN omdat het omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken AMP en AQN gelijkvormig, zodat \frac{AN}{AQ} = \frac{AP}{AM} en bijgevolg AP\cdot AQ = AN \cdot AM=p_A.

Nemen we een raaklijn door A aan de cirkel, met raakpunt U, dan volgt meteen uit de stelling van Pythagoras dat p_A=(AU)^2.

Het geval dat A in het inwendige van de cirkel ligt bewijzen we op soortgelijke wijze. Q.E.D.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijking[bewerken]

De macht van punt A(xo,yo) ten opzichte van een cirkel met vergelijking

 (x - a)^2  + (y - b)^2 = r^2

is

 (x_0 - a)^2  + (y_0 - b)^2 - r^2

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]