Macht (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Geometric description of the power of a circle

De macht van een punt A ten opzichte van een cirkel met middelpunt O en straal r is gedefinieerd als

Punten in het inwendige van een cirkel hebben negatieve macht, in het uitwendige positieve macht, en punten op de cirkel hebben een macht gelijk aan nul. De minimale macht is -r2.

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel C is een cirkel concentrisch met C.

Alternatieve berekening[bewerken]

AP*AQ=AN*AM

Nemen we een lijn door A, die de cirkel snijdt in punten P en Q, dan blijkt dat , waarbij AP en AQ tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn.

Bewijs[bewerken]

Veronderstel A in het uitwendige van de cirkel.

Deze alternatieve berekening is duidelijk correct voor het bijzondere geval dat we voor de lijn AO nemen, want dan , zoals gewenst.

Neem voor het algemene geval de lijn AO als hulplijn en noem de snijpunten met de cirkel N en M zoals in de figuur. Nu geldt omdat het omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken AMP en AQN gelijkvormig, zodat en bijgevolg .

Nemen we een raaklijn door A aan de cirkel, met raakpunt U, dan volgt meteen uit de stelling van Pythagoras dat .

Het geval dat A in het inwendige van de cirkel ligt bewijzen we op soortgelijke wijze. Q.E.D.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijking[bewerken]

De macht van punt A(xo,yo) ten opzichte van een cirkel met vergelijking

is

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]