Macht (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search
Voor het uitwendige punt is de macht van t.o.v. de cirkel

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel met middelpunt en straal is gedefinieerd als

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door Jakob Steiner als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt.

Punten in het inwendige van een cirkel hebben een negatieve macht, in het uitwendige een positieve macht, en voor punten op de cirkel hebben is de macht gelijk aan nul. De kleinste waarde voor de macht van een punt is de macht van het middelpunt:

De macht van een uitwendig punt is gelijk aan het kwadraat van de raaklijn vanuit aan de cirkel.

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel is een cirkel concentrisch met

Eigenschap[bewerken]

Voor een lijn door het punt die een cirkel snijdt in de punten en , geldt

,

waarbij en tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn.

Bewijs[bewerken]

Veronderstel dat buiten de cirkel ligt.

Voor het bijzondere geval dat de lijn door gaat, geldt

, zoals gewenst.

Neem voor het algemene geval de lijn als hulplijn en noem de snijpunten met de cirkel en zoals in de figuur. Nu geldt omdat het omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken en gelijkvormig, zodat

en bijgevolg

.

Voor een raaklijn door aan de cirkel, met raakpunt volgt meteen uit de stelling van Pythagoras dat .

Het geval dat in het inwendige van de cirkel ligt, wordt op analoge manier bewezen.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijking[bewerken]

De macht van het punt ten opzichte van een cirkel met vergelijking

is

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]