Macht (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
fig. 1. Er geldt:

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel met middelpunt en straal is gedefinieerd als

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door Jakob Steiner als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt.

Punten in het inwendige van een cirkel hebben een negatieve macht, in het uitwendige een positieve macht, en voor punten op de cirkel is de macht gelijk aan nul. De kleinste waarde van de macht van een punt is de macht van het middelpunt:

De macht van een uitwendig punt is gelijk aan het kwadraat van de lengte van het raaklijnstuk vanuit aan de cirkel (volgens de stelling van Pythagoras); zie figuur 1:

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel is een cirkel die concentrisch is met .

Eigenschap[bewerken | brontekst bewerken]

fig. 2.

Voor een lijn door het punt die een cirkel snijdt in de punten en , geldt:

waarbij en tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn (dit is het geval als binnen de cirkel ligt).

Bewijs[bewerken | brontekst bewerken]

Veronderstel dat buiten de cirkel ligt.

Voor het bijzondere geval dat de lijn door gaat, geldt:

En dit komt overeen met het gestelde.

Voor het algemene geval is de lijn een hulplijn bij een (willekeurige) lijn door die de cirkel snijdt in de punten . Dan is, en zie figuur 2:

omdat dit omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken en gelijkvormig, zodat

en bijgevolg

Het geval dat in het inwendige van de cirkel ligt, kan op analoge manier worden bewezen.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

De macht van het punt ten opzichte van een cirkel met vergelijking

is

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Externe link[bewerken | brontekst bewerken]

Zie de categorie Power of a point van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.