Geodeet (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de differentiaalmeetkunde is een geodeet in een gekromde ruimte, een kromme zodanig dat voor elk tweetal punten op de kromme die dicht genoeg bij elkaar liggen, de kromme de kortste weg tussen die twee punten vormt. De definitie van een geodeet komt dus overeen met die van een lijn, maar dan voor gekromde ruimten.

Definitie[bewerken]

Zij f:[0,a]\to M een continu differentieerbare kromme, die regulier is, dus met snelheid nergens 0, op een Riemann-variëteit. De kromme is geodetisch of een geodeet als op ieder punt van de kromme de richtingsafgeleide df\over dt en de eigen richting parallel zijn. Symbolisch kan dit als volgt worden geformuleerd:

\frac{D}{dt}\dot f(t) = \nabla_{\dot f(t)}\dot f(t) = 0

waar \nabla de Levi-Civita-verbinding van de variëteit aanduidt. In termen van lokale coördinaten x^i luidt deze differentiaalvergelijking:

{d^2 f^i\over dt^2}+\Gamma^i_{jk}{df^j\over dt}{df^k\over dt}=0

waar \Gamma^i_{jk} de Christoffelsymbolen zijn, en we de sommatieconventie van Einstein hanteren, dat wil zeggen dat we sommeren over herhaalde indices, over alle j en k, en dat de vergelijking geldt voor iedere i afzonderlijk.

Eigenschappen[bewerken]

De snelheid van een geodeet heeft constante grootte.

Elke raakvector verschillend van de nulvector is de snelheidsvector van precies één geodeet. Dit volgt uit algemene beschouwingen over de oplosbaarheid van gewone differentiaalvergelijkingen. Op een volledige variëteit kunnen deze geodeten onbeperkt worden verlengd.

Elke samenhangende Riemannse variëteit wordt een metrische ruimte door als afstand tussen twee punten te definiëren: het infimum van de lengten van alle krommen die deze twee punten verbinden. Met die definitie is een geodeet lokaal de kortste afstand tussen twee punten, dat wil zeggen elk punt heeft een voldoende kleine omgeving waarbinnen de afstand van dat punt tot ieder ander punt, gemeten via een geodeet door beide punten, de kortst mogelijke is. Globaal hoeven geodeten niet altijd de kortste afstand te bepalen, vooral niet in positief gekromde stukken van de variëteit. Zo is bijvoorbeeld de evenaar op een ideale wereldbol een geodeet, maar de reisweg in vogelvlucht over de evenaar, van Centraal-Afrika over Indonesië naar Peru, is lang niet de kortst mogelijke.

Voorbeelden[bewerken]

In de Euclidische ruimte \mathbb{R}^n zijn de geodeten rechte lijnen.

Op het gewone boloppervlak zijn de grootcirkels de geodeten.

Algemeen[bewerken]

Als M slechts een pseudo-Riemannse variëteit is, dat wil zeggen dat de metrische tensor niet noodzakelijk positief-definiet is, dan definieert men een geodeet aan de hand van bovenstaande differentiaalvergelijkingen zonder te eisen dat de afstand minimaal is.

In een willekeurige metrische ruimte is elke kromme, die de kleinste afstand tussen twee punten bepaalt, een geodeet. Op een samenhangende Riemannse variëteit vallen de twee begrippen samen.

Verband met mechanica en relativiteit[bewerken]

Geodeten zijn de extremaalkrommen voor de energiefunctionaal, of eigenlijk: actiefunctionaal

E(f)=\frac{1}{2}\int g(\dot f(t),\dot f(t))\,dt

In de formulering van de analytische mechanica door Joseph-Louis Lagrange beschrijven geodeten de baan van een deeltje waarop geen uitwendige kracht werkt, een zogenaamd vrij deeltje.

In het bijzonder zijn boven gegeven differentiaalvergelijkingen de bewegingsvergelijkingen voor vrije deeltjes of voor licht in de algemene relativiteitstheorie.