Topologische variëteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een topologische variëteit een hausdorff-ruimte die tweedst-aftelbaar is en er lokaal uitziet als een euclidische ruimte, of anders gezegd een variëteit waarvan de topologische ruimte een tweedst-aftelbare hausdorf-ruimte is.[1]. Topologische variëteiten vormen een belangrijke klasse van topologische ruimten met toepassingen door de gehele wiskunde.

De gebruikte terminologie is onder de verschillende auteurs niet eenduidig. Sommige auteurs gebruiken het begrip variëteit als synoniem voor topologische variëteit. Vaker gaat het echter over een variëteit tezamen met een aanvullend aan de topologische ruimte opgelegde structuur. Differentieerbare variëteiten, bijvoorbeeld, zijn topologische variëteiten uitgerust met een differentieerbare structuur. Elke variëteit heeft een onderliggende topologische variëteit, die simpelweg wordt verkregen door de extra structuur weg te laten. In dit artikel wordt een overzicht van het variëteitsconcept gegeven. Dit artikel richt zich puur op de topologische aspecten van variëteiten.

Formele definitie[bewerken]

Een topologische ruimte wordt lokaal euclidisch genoemd als voor een zeker positief natuurlijk getal elk punt in een omgeving heeft die homeomorf is met een open samenhangende deelverzameling van de euclidische ruimte .

Een topologische variëteit is een lokaal euclidische hausdorff-ruimte die voldoet aan het aftelbaarheidsaxioma . Het is gebruikelijk om aanvullende eisen op te leggen aan topologische variëteiten. Vele auteurs definiëren topologische variëteiten als paracompact.

Met een -variëteit wordt een topologische variëteit bedoeld zodat elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met . Een niet-triviale stelling zegt dat voor elke variëteit er een uniek geheel getal bestaat zodat een -variëteit is. Dit gehele getal wordt de dimensie van genoemd.

Elke topologische variëteit heeft meerdere atlassen. Een -atlas is een atlas waarvan de transitieafbeeldingen van de differentieerbaarheidsklasse zijn. Elke topologische variëteit heeft een -atlas en in het algemeen heeft een -variëteit een -atlas. Een continue atlas is een -atlas, een gladde atlas een -atlas en een analytische atlas is een -atlas. Als de atlas ten minste is, wordt ze ook een differentiaalstructuur of differentieerbare structuur genoemd. Een holomorfe atlas is een atlas waarvan de onderliggende euclidische ruimte gedefinieerd is op de complexe getallen en waarvan de transitieafbeeldingen biholomorf zijn.

Voorbeelden[bewerken]

  • De -dimensionale sfeer is een compacte -variëteit.
  • De -dimensionale torus (het product van cirkels) is een compacte -variëteit.
  • Onder de variëteiten, die gerelateerd zijn aan de projectieve ruimte, zijn Grassmannianen, vlagvariëteiten en Stiefel-variëteiten.
  • Lensruimten zijn een klasse van variëteiten die quotiënten van oneven-dimensionale sferen zijn.
  • Lie-groepen zijn variëteiten, die zijn uitgerust met een groepstructuur.
  • Enige open deelverzameling van een -variëteit is een -variëteit met de deelruimtetopologie.
  • Als een -variëteit is en een -variëteit, dan is het product een -variëteit.
  • De disjuncte vereniging van een familie van -variëteiten is een -variëteit (de onderdelen moeten allemaal dezelfde dimensie hebben).
  • De verbonden som van twee -variëteiten resulteert in een andere -variëteit.

Eigenschappen[bewerken]

De eigenschap van het lokaal euclidisch zijn wordt bewaard door lokale homeomorfismen. Dat wil zeggen dat als lokaal euclidisch van dimensie is en een lokaal homeomorfisme is, dat dan lokaal euclidisch van dimensie is. In het bijzonder is lokaal euclidisch zijn een topologische eigenschap.

Variëteiten erven veel van de lokale eigenschappen van de euclidische ruimte. In het bijzonder zijn zij lokaal compact, lokaal samenhangend, eerst-aftelbaar, lokaal samentrekbaar en lokaal metriseerbaar. Aangezien topologische variëteiten lokaal compacte hausdorff-ruimten zijn, zijn variëteiten noodzakelijkerwijs ook Tychonov-ruimten.

Een variëteit hoeft niet samenhangend te zijn, maar elke variëteit is een disjuncte vereniging van samenhangende variëteiten. Dit zijn slechts de samenhangende componenten van , die open verzamelingen zijn, aangezien variëteiten lokaal samenhangend zijn. Aangezien variëteiten lokaal padsamenhangend zijn, is een variëteit dan en slechts dan pad-samenhangend als hij ook samenhangend is. Hieruit volgt dat de pad-componenten dezelfde zijn als de componenten.

Het hausdorff-axioma[bewerken]

De hausdorff-eigenschap is niet lokaal, dus zelfs hoewel de euclidische ruimte hausdorff is, hoeft een lokaal euclidische ruimte geen hausdorff-ruimte te zijn. Het is echter waar dat elke lokaal euclidische ruimte tevens een T1-ruimte is.

Een voorbeeld van een niet-hausdorff lokaal euclidische ruimte is de lijn met twee oorsprongen. Deze ruimte wordt gecreëerd door de oorsprong van de reële lijn te vervangen door twee punten, waarvan een open omgeving van elk van deze beide punten alle niet-nulzijnde getallen in enig open interval gecentreerd op nul bevat. Deze ruimte is geen hausdorff-ruimte, omdat de twee oorsprongen niet kunnen worden gescheiden.

Dimensionaliteit[bewerken]

De dimensie van een variëteit is een topologische eigenschap, wat betekent dat elke variëteit die homeomorf is aan een -variëteit een dimensie heeft. Uit det invariantie van domein volgt dat een -variëteit niet homeomorf kan zijn aan een -variëteit voor .

Een eendimensionale variëteit wordt vaak een kromme genoemd, terwijl een tweedimensionale variëteit een oppervlak wordt genoemd. Hogere dimensionale variëteiten worden meestal -variëteiten genoemd. Voor of zie respectievelijk 3-variëteit, 4-variëteit en 5-variëteit.

Classificatie van variëteiten[bewerken]

Een 0-variëteit is gewoon een discrete ruimte. Zulke ruimten worden geclassificeerd op hun kardinaliteit. Elke discrete ruimte is paracompact. Een discrete ruimte is dan en slechts dan tweedst-aftelbaar als deze aftelbaar is.

Elke paracompacte, samenhangende 1-variëteit is homeomorf ofwel met ofwel met de cirkel. De niet-samenhangende zijn gewoon disjuncte verenigingen van deze.

Zie ook[bewerken]