Lensruimten van Tietze

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De lensruimten van Tietze spelen een rol in de topologie, een tak van de wiskunde. Het betreft een klasse van topologische ruimten, meer bepaald topologische variëteiten, aan de hand waarvan men onder meer aantoont dat homotopie-equivalente topologische ruimten niet noodzakelijk homeomorf, d.i. topologisch equivalent, zijn.

Deze ruimten zijn genoemd naar de Oostenrijkse wiskundige Heinrich Franz Friedrich Tietze.

Definitie[bewerken]

We modelleren de driedimensionale sfeer als een deelverzameling van :

Zijn natuurlijke getallen, en veronderstel dat en geen gemeenschappelijke delers hebben. Beschouw de afbeelding

De lensruimte ontstaat als quotiënttopologie van door systematisch de elementen met elkaar te identificeren. Explicieter, is de partitie van de klassen van de equivalentierelatie.

Merk op dat de identieke transformatie is, en .

Voorbeelden[bewerken]

is de sfeer zelf. (Strikt genomen voldoet dit voorbeeld niet aan de voorwaarde .)

Als en , dan beeldt elk element op zijn tegengestelde af. De quotiëntruimte kan dan opgevat worden als de verzameling reële vectorrechten in , dat wil zeggen de projectieve driedimensionale ruimte .

Elementaire eigenschappen[bewerken]

Lensruimten zijn compacte driedimensionale topologische variëteiten.

Homotopie-equivalentie[bewerken]

Men kan aantonen dat de fundamentaalgroep van isomorf is met de cyclische groep , zodat en nooit homotopie-equivalent (en a fortiori niet homeomorf) zijn als .

De ruimten en zijn homotopie-equivalent als en slechts als of zijn tegengestelde congruent is met een kwadraat modulo :

De ruimten en zijn slechts homeomorf als en slechts als of zijn tegengestelde, of of zijn tegengestelde, congruent is met één modulo :

Voorbeelden[bewerken]

is niet homotopie-equivalent met , hoewel beide ruimten dezelfde fundamentaalgroep hebben, want en zijn geen kwadraten modulo 5.

is weliswaar homotopie-equivalent met , maar deze twee ruimten zijn niet homeomorf met elkaar. De homotopie-equivalentie volgt uit het feit dat modulo 7.

Hogere dimensies[bewerken]

Men kan in bovenstaande definitie vervangen door . Voor geschikte natuurlijke getallen (geen enkele heeft een deler met gemeen) definieert men op gelijkaardige wijze als hierboven een quotiënttopologie van de -sfeer, en noemt haar de Lensruimte .