Riemann-sfeer

De riemann-sfeer kan worden gevisualiseerd als het complexe vlak dat rondom een bol is gewikkeld (door een of andere vorm van stereografische projectie - zie hieronder).

De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als

$1/0=\infty \,$

in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als

• De complexe projectieve lijn $\mathbb {CP} ^{1}$
• Het uitgebreide complexe vlak

$\mathbb {\hat {C}}$ of $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ (de complexe getallen C verenigd met oneindig).

Opnemen van oneindig

Op een puur algebraïsch niveau vormen de complexe getallen met een extra element op oneindig een getalsysteem dat bekendstaat als de uitgebreide complexe getallen. Rekenen met oneindige grootheden houdt zich niet altijd aan de gebruikelijke regels van de algebra, en zo vormen de uitgebreide complexe getallen geen lichaam. De riemann-sfeer vertoont echter meetkundig en analytisch een behoorlijk gedrag, zelfs op het punt op oneindig. De bol is een een-dimensionele complexe variëteit, die ook wel een riemann-oppervlak wordt genoemd.

Toepassingen

Stereografische projectie van een complex getal $A$ rechts op een punt $\alpha$ op de riemannbol via een lijn naar de pool P die oneindig voorstelt.

In de complexe analyse maakt de riemann-sfeer een elegante theorie van meromorfe functies mogelijk. De riemann-sfeer is een fundamenteel voorbeeld van een

1. complexe variëteit,
2. een projectieve ruimte en
3. een algebraïsche variëteit

Daarom komt de riemann-sfeer overal voor in de projectieve meetkunde en de algebraïsche meetkunde. Hij vindt ook toepassing in andere disciplines die afhankelijk zijn van analyse en meetkunde, zoals de kwantummechanica en andere takken van de natuurkunde.

Literatuur

• (en) Brown, James and Churchill, Ruel, Complex Variables and Applications. McGraw-Hill, New York (1989). ISBN 0070109052.
• (en) Griffiths, Phillip and Harris, Joseph, Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons (1978). ISBN 0-471-32792-1.
• (en) Penrose, Roger, The Road to Reality. Knopf, New York (2005). ISBN 0-679-45443-8.
• (en) Rudin, Walter, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, New York (1987). ISBN 0071002766.

Zie ook

• Dessin d'enfant (invarianten Galoisgroep)
• Dubbelverhouding
• Hoekgetrouwe meetkunde
• Hopfbundel of Hopfvezel
• Möbius-transformatie

Externe links

• (en) Twistor Theory, door R. Penrose en F. Hadrovich
• (en) Moebius Transformations Revealed, door Douglas N. Arnold en Jonathan Rogness (een video door twee hoogleraren van de Universiteit van Minnesota die Möbiustransformaties uitleggen met stereografische projectie vanuit een bol)

Mediabestanden

Zie de categorie Riemann sphere van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.