Dichte verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie en aanverwante deelgebieden binnen de wiskunde wordt een deelverzameling A van een topologische ruimte X dicht genoemd als, intuïtief gesproken, enig punt in X "goed-benaderd" kan worden door punten in A. Formeel gesproken is A dicht in X, indien voor enig punt x in X, enige omgeving van x ten minste één punt uit A bevat.

Gelijkwaardig: A is dicht in X als de enige gesloten deelverzameling van X, die A bevat, X zelf is. Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat de afsluiting van A gelijk is aan X, of dat het inwendige van het complement van A leeg is.

Dichtheid in metrische ruimtes[bewerken]

Een alternatieve definitie van een dichte verzameling in het geval van metrische ruimten is de volgende:

De verzameling A in een metrische ruimte X is dicht als elke x in X een limiet van een rij van elementen in A is. Immers, wanneer de topologie van X wordt gegeven door een metriek is de afsluiting \bar{a} van A in X de vereniging van A en de verzameling van alle limieten van rijen van elementen in A (haar ophopingspunten),

\bar{A} = A \bigcup \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}.

Dan is A dicht in X als

 \bar{A} = X.


Als \{U_n\} een reeks van dichte open verzamelingen is in een complete metrische ruimte, X, dan is \cap^{\infty}_{n=1} U_n ook dicht in X. Dit feit is een van de equivalente vormen van de categoriestelling van Baire.

Voorbeelden[bewerken]

Zie ook[bewerken]