Veeltermring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een veeltermring de verzameling van polynomen in een of meer veranderlijken met coëfficiënten in een ring. Veelterm en polynoom is hetzelfde.

De veeltermring R[x][bewerken]

Zij R een ring. Een veelterm, een polynoom met coëfficiënten in R is een functie

f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n  \quad a_i \in R .

Men duidt zo'n veelterm vaak met een letter als \scriptstyle f of als \scriptstyle f(x). n heet de graad van de polynoom. Een polynoom van de graad n met coëfficiënt an=1 heet monisch, of moniek.

De verzameling R[x] van alle veeltermen over R kan worden voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging. Deze bewerkingen definiëren de ring R[x].

 \sum_{i=0}^n a_i x^i + \sum_{i=0}^n b_ix^i = \sum_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i

en

\left(\sum_{i=0}^n a_ix^i\right)\left(\sum_{j=0}^n  b_jx^j\right)=\sum_{k=0}^{2n} \left(\sum_{i +j =k}a_ib_j\right)x^k.

Het quotiënt van twee polynomen heet een rationale functie. Dat is in het algemeen geen polynoom, dus vormt de verzameling polynomen een ring, maar geen lichaam.

Als R een commutatieve ring is, dan is R[x] dat ook, en een algebra over R.

Eigenschappen[bewerken]