Rationale functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een rationale functie is een functie van de vorm Q(x) = T(x) / N(x), waarbij de teller T(x) en de noemer N(x) een polynoom - dus een veelterm - voorstellen. Een rationale functie is dus een uitbreiding van de polynomen en tegelijk een veralgemening van de rationale getallen.

Algemener spreken we van een rationale functie in n veranderlijken over een ring R als een object van de vorm

Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)={T(x_1,x_2,\ldots,x_n)\over N(x_1,x_2,\ldots,x_n)}

waar T en N polynomen zijn in n veranderlijken met coëfficiënten in R.

Als R een lichaam is, dan moeten we onderscheid maken tussen het abstracte object Q(x) als formele veeltermbreuk enerzijds, en de partiële afbeelding

Q:D=\{r\in R|N(r)\neq0\}\to R:r\mapsto T(r)/N(r)

anderzijds. Twee formele veeltermbreuken T_1/N_1 en T_2/N_2 worden als identiek beschouwd als ze "na vereenvoudiging" in elkaar overgaan:

T_1(x).N_2(x)=T_2(x).N_1(x)

Met name bij eindige lichamen is het mogelijk dat het linker- en rechterlid in bovenstaande gelijkheid verschillend zijn als veeltermen (verschillende coëfficiënten hebben), maar in alle elementen r van R dezelfde waarde aannemen.

De verzameling der formele veeltermbreuken over een ring R wordt aangeduid met R(x) of R(x_1,x_2,\ldots,x_n). Ter onderscheid gebruikt men meestal rechte haken voor de polynomenring: R[x] of R[x_1,x_2,\ldots,x_n].

Rationale functies komen voor in veel takken van de wiskunde en de techniek: onder andere in regeltechniek, elektrotechniek en communicatietechniek. Dikwijls komen de rationale functies voort van Laplacetransformatie of Fouriertransformatie van een differentiaalvergelijking.

Speciale Gevallen[bewerken]

Wanneer bij de rationele functie de noemer een nulpunt heeft die géén nulpunt is van de teller spreekt men van een Verticale Asymptoot.