Algebra (ringtheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebra over een commutatieve ring een veralgemening van het concept van een algebra over een lichaam (Ned) / veld (Be), waarin het lichaam/veld K wordt vervangen door een commutatieve ring R.

In dit artikel wordt van alle ringen aangenomen dat zij unitair zijn.

Formele definitie[bewerken]

Laat R een commutatieve ring zijn. Een algebra is een R-moduul A, waarop een binaire operatie

[\cdot,\cdot]: A\times A\to A

gedefinieerd is, de A-vermenigvuldiging genaamd, die bilineair is. Dat houdt in dat voor alle scalairen a,b \in R en alle elementen x,y,z \in A geldt:

 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] .

Associatieve algebra's[bewerken]

Als A een monoïde onder A-vermenigvuldiging is (het voldoet aan de eisen van associativiteit, identiteit en totaliteit), dan noemt men de R-algebra een associatieve algebra. Interessant genoeg vormt een associatieve algebra een ring over R en geeft hij veralgemening van een ring. Een equivalente definitie van een associatieve R-algebra is een ringhomomorfisme f:R\to A, zodanig dat het beeld van f is opgenomen in het centrum van A

Zie ook[bewerken]