Ophopingspunt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is een ophopingspunt, ook verdichtingspunt of limietpunt van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) waar in elke omgeving van dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling liggen. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en Euclidische ruimten.

Getallenrij[bewerken]

Een oneindige rij in (zie topologische ruimten met oneindig als element) heeft altijd een of meer ophopingspunten. Is er slechts één ophopingspunt, dan is de rij convergent met het ophopingspunt als limiet. De kleinste (eigenlijk het infimum) van de ophopingspunten heet de liminf van de rij; de grootste (het supremum) heet limsup.

Definitie[bewerken]

Het punt heet ophopingspunt van de verzameling als in iedere omgeving van nog een punt van ligt, ongelijk aan .

Is de verzameling een metrische ruimte met metriek , dan geldt voor een ophopingspunt dat bij ieder getal een element is met

Alternatief kan de definitie in dat geval ook in termen van een rij worden gegeven:

Het punt heet ophopingspunt van de metrische ruimte , als er een rij in bestaat, waarvan alle elementen zijn en die naar convergeert.

Voorbeelden[bewerken]

Hieronder staan enkele eenvoudige voorbeelden van ophopingspunten.

Voorbeeld 1: Eén ophopingspunt[bewerken]

Van de rij positieve natuurlijke getallen is 0 het ophopingspunt.

De rij 1/n

Voorbeeld 2: Twee ophopingspunten[bewerken]

Een voorbeeld van meer dan één ophopingspunt is de rij , met

.

Deze rij heeft duidelijk twee convergente deelrijen: de deelrij van de even en de deelrij voor de oneven . De deelrijen (bovenste rij) en (onderste rij) convergeren respectievelijk naar 1 en −1. De rij heeft dus twee ophopingspunten.

De rij .

Voorbeeld 3: Oneindig als ophopingspunt[bewerken]

De rij met bevat twee deelrijen voor de even indices en voor de oneven indices, die respectievelijk en als ophopingspunt hebben.

De rij