Overleg:Machtsverheffen

Fout in rekenregel

n-de machts wortel x = n tot de macht 1/n behoeft correctie. Dit is helaas voor mij niet uitvoerbaar. Ed de Jonge 2 mrt 2005 22:57 (CET)

definitie

Macht is niet gedefinieerd als de inverse van de logaritme.Nijdam 3 mrt 2005 23:44 (CET)

0 tot de macht 0

n^0 = 1 voor n verschillend van 0, moet eigenlijk algemener worden n^0 =1. Immers, ook 0^0 = 1. DaBeast

Nee. 0^n = 0 voor alle n (op 0 na), n^0 = 1 voor alle n (op 0 na). Vul daar maar eens nul in, dan zeg je 0=1, wat niet waar is in lichamen. Dat Google ook beweert dat 0^0 = 1 is hun probleem. --Tinctorius 3 mei 2007 12:02 (CEST)

Er klopt iets niet. Het moet zijn 0^n = 0 voor alle positieve n. Want 0^negatief getal kan niet omdat dat hetzelfde is als delen door nul. 0^0 blijft daardoor vrij en kan hetbeste als 1 worden gedefinieerd, omdat dat getal toch gelijk is aan zijn reciproque (1/1 = 1), net zoals dat nul gelijk is aan zijn negatief. --Tai Ferret 13 aug 2007 14:05 (CEST)

In de betreffende alinea in het artikel wordt gesproken over een 'lege afbeelding'. Is daar een definitie van beschikbaar? Bob.v.R 12 aug 2008 04:18 (CEST)

Zie en:Empty_function. Groeten, TD 12 aug 2008 10:41 (CEST)

Afgeleide

Ik heb het onderstaande verwijderd, het lijkt me meer met e-macht en afgeleide te maken te hebben dan met machtsverheffen, zeker waar er al over a^x staat geschreven.

---

Kiezen we e als grondtal, dan is de afgeleide gelijk aan de functie zelf.

$h\left(x\right)=e^{x}$

$h'\left(x\right)=e^{x}ln\left(e\right)=e^{x}=h\left(x\right)$

---

Nijdam 9 jul 2005 20:59 (CEST)

Meerdere machten

Is het nu $3^{3^{3}}=3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987$ of $3^{3^{3}}=(3^{3})^{3}=27^{3}=19683$? WebBoy... 7 nov 2005 17:33 (CET)

Volgens docent wiskunde is $3^{3^{3}}$ gewoonweg onduidelijk en is er geen regel voor. Altijd haakjes zetten dus. Iemand een ander antwoord? WebBoy... 8 nov 2005 21:49 (CET)

Zie Knuth's pijlomhoognotatie.Nijdam 00:20, 10 november 2005 (CET)

Het lijkt mij dat je bij twijfel bewerkingen altijd van links naar rechts uitvoert, zoals normaal!

Het lijkt me duidelijk dat het de eerste optie is, anders zou de derde 3 niet kleiner dan de tweede geschreven zijn. Verder heeft de operatie ^ niet erg veel nut als deze niet rechts associatief is, want $(a^{b})^{c}=a^{b+c}$. En WebBoy, sinds wanneer is één (onbekende) wiskundedocent een authoratieve bron? --Tinctorius 3 mei 2007 12:08 (CEST)

Let op: $(a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}$Madyno 25 okt 2007 18:44 (CEST)

Over macht

Recentelijk is in het artikel verschil gemaakt tussen macht en exponent. Ik meen dat, zeker historisch gezien, dit strikte onderscheid niet juist is. In $2^{3}$, gelezen als 2 to t de macht 3, is het getal 3 de macht van het grondtal 2. Dat het ook als exponent wodt aangeduid lijkt me van latere datum.Madyno 3 jan 2007 18:53 (CET)

Het blijft voor mij een open vraag of de exponent $n$ in $a^{n}$, uitgesproken als $a$ tot de macht $n$, niet ook als macht gezien wordt (werd).Madyno (overleg) 11 jan 2020 11:46 (CET)

@Madyno: Voor mij is de vraag reeds lang geleden beantwoord. Het maakt volgens mij niet uit hoe je het uitspreekt maar hoe je een ander op schrift zet. 3⁵ is een macht van 3 met grondtal 3 en met macht 5 (en 5 als macht)? Dat durf ik niet te laten afdrukken Maar...

Smeelen (1923) in Rekenkunde, blz. 50 - Door de b-de macht van a verstaat men 't produkt van b factoren elk gelijk aan a. Elk der factoren heet wortel van de macht. 't Aantal gelijke factoren heet exponent of aanwijzer.

• En wat ik niet wist (Smeelen zegt): Twee machten heten gelijknamig als de exponenten gelijk zijn.

Wijdenes (1926) in Theorie der Rekenkunde, par 18 - Onder de n-de macht (n > 1) van een natuurlijk getal a verstaat men het gedurig product van n factoren a; het getal a heet het grondtal van de macht; n heet de exponent.

Schuh (1928) in Het natuurlijke getal, par. 248 - Een macht a^b (b^de macht van a), waarvan a het grondtal en b de exponent heet, wordt door volledige inductie aldus gedefinieerd [...]

Schons & De Cock (1968) in Leerboek der algebra, deel I (Vlaams), pag. 32 - De n-de macht van een getal is het product van n factoren elk gelijk aan dat getal. De 5e macht van 3 is dus 3 x 3 x 3 x 3 x 3. De machtsaanwijzer of exponent van een macht is het aantal factoren die in het product voorkomen.

Coster, Dop, Streefkerk in Nieuwe algebra, deel 1, pag. 11 - Een macht is het produkt van enige gelijke factoren. a⁴ = a x a x a x a; a heet het grondtal van de macht, 4 heet de exponent van de macht.

DikkeVanDale (12e, 1992) - macht 14 (-en) product van gelijke factoren: 27 is de derde macht van 3 (aangeduid door 3³); 3 in de derde macht, 3 x 3 x 3; a tot de macht n, tot de n-de macht (aⁿ).

Voorts, ik ben geen sokpop van HP._ DaafSpijker _overleg 11 jan 2020 21:43 (CET)

Waaom zou ik denken dat je een sokpop van HP bent??? Ik ben het verder helemaal met je eens, maar vraag me alleen maar af wat ik moet verstaan onder de gebruikelijke formulering 3 tot de macht 5? Daarin klinkt door dat 5 de macht zou zijn. Ik denk niet dat iemand zegt: 3 tot de exponent 5?? Madyno (overleg) 11 jan 2020 22:23 (CET)

Het opstellen van het lijstje citaten deed dat bij mij in ieder geval wel. Gek hè, ik sprak en spreek 3^5 nooit anders uit dan als "drie tot de vijfde" (i.i.g. zeker bij de lerarenopleiding). Voor mij is dat onderscheid tussen macht en exponent er altijd geweest. Dus niet "3 tot de macht 5", want dat schept verwarring.(;-)_ DaafSpijker _overleg 11 jan 2020 23:36 (CET)

Voordeel?

De recentelijke toevoeging:

Het voordeel van de regel a⁰ = 1 is dat hierdoor de rekenregel ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$ ...

begrijp ik niet erg. Het is geen regel, maar een gevolg van de definitie; evenals de geciteerde rekenregel. Ik zou de toevoeging liever weer verwijderen.Madyno 25 okt 2007 15:05 (CEST)

Ik zie de toevoeging ook liever niet, maar ik begrijp hem wel. Er wordt eerder in het artikel niet duidelijk verteld wanneer definities gelden. Aan de andere kant vond ik het zeker niet eenvoudig om dat zowel leesbaar als correct op te schrijven.

Ik weet niet of er verteld moet worden dat $a^{1}=a$. Strikt genomen is het geen herhaalde vermenigvuldiging. Zelf vind ik het voldoende voor de hand liggen om het niet te vertellen.

De uitbreidingen van de definitie gelden alleen onder voorwaarden en zijn gebaseerd op de rekenregels die daarna pas genoemd worden.

$x^{a}x^{b}=x^{a+b}$ leidt tot ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$ als $a>b$. De definitie $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$ geldt alleen als $x\neq 0$ en laat, niet toevallig, de rekenregel ook gelden als $a<b,x\neq 0$.

$x^{0}=1$ breidt dit uit voor $a=b$, maar als je dat vertelt, heb je het probleem of je dat ook moet laten gelden als $x=0$.

${(x^{a})}^{b}=x^{(ab)}$ is de aanleiding voor de definitie $x^{\frac {n}{m}}={({\sqrt[{m}]{x}})}^{n}$. Als $x<0$, geldt die definitie alleen als $m$ oneven is.

Het herschrijven is mij niet gelukt, hooguit kan ik vertellen waarom ik denk dat het mislukte. Het begrip machtsverheffen wordt in verschillende delen van de wiskunde gebruikt, maar het is niet zo dat ze dezelfde uitbreidingen van het elementaire begrip gebruiken. Als je alleen gehele machten gebruikt, zorgt de definitie $0^{0}=1$ ervoor dat de rekenregels minder uitzonderingen hebben. Aan de andere kant vind ik de formule van Euler zo mooi dat die eigenlijk ook al vroeg genoemd moet worden en dan moet je eerst iets vertellen over gebroken machten. Erik Warmelink 26 okt 2007 05:57 (CEST)

Weer 0 tot de macht 0

Zoals het in het artikel staat is het voldoende. Het heeft weinig of niets met delen door 0 te maken. Die zienswijze lijkt me eigen onderzoek. Noem me een bron waarin op deze manier tegen de zaak wordt aangekenen. Madyno 18 aug 2010 00:37 (CEST)

0⁰=0/0 volgt gewoon uit de rekenregels: $0^{0}=0^{x-x}={\frac {0^{x}}{0^{x}}}={\frac {0}{0}}$. En omdat 0/0 onbepaald is (ofwel een onbepaalde vorm is), is 0⁰ dat ook. Het feit dat het onbepaald is maakt dat je dat zo kan laten of, uit oogpunt van gemak, dat je een waarde afspreekt. Omdat het mooi uitkomt (bijv. om redenen als genoemd in het artikel) is gekozen voor de waarde 1. Ik denk ook dat het onderscheid tussen discrete wiskunde en analyse waar verschillende afspraken zouden gelden niet klopt (ik heb dat zelf ook niet voldoende aangepast). De algemene consensus is volgens mij dat afgesproken is (gedefinieerd is) dat 0⁰=1, in de hele wiskunde. Ook in de continue wiskunde geldt immers dat de limiet van x^x voor x naar 0 (van rechts) gelijk is aan 1 (ook het feit dat je deze limiet alleen met L'Hopital kan bepalen bewijst dat 0^0 onbepaald is). Ook de rekenmachine en CAS (Maxima) geven 0^0=1.--FredHolland 18 aug 2010 02:57 (CEST)

De rekenregels gelden alleen waar ze voor gedefinieerd zijn. Weliswaar is bv. $0^{2}=0$, maar alleen als $0^{2-2}$ gedefinieerd zou zijn, zou het ook gelijk zijn aan $0^{0}$. Het is echter niet gedefinieerd en daarom kun je ook niet zeggen dat het gelijk moet zijn aan $0^{0}$. Madyno 18 aug 2010 07:06 (CEST)

Ik begrijp niet wat je bedoelt: $0^{2-2}=0^{0}$ omdat 2-2=0. Het lijkt me zinloos om dat te betwisten. Het heeft niets te maken met wel of niet gedefinieerd zijn. Maar goed, het omwerken van $0^{0}$ tot 0/0 heeft enkel tot doel het concept van onbepaaldheid inzichtelijk te maken. Dat $0^{0}$ onbepaald is, is niet makkelijk in te zien. Echter uit 0/0=n volgt 0=n0, wat onmiddelijk laat zien dat n elk getal kan zijn, ofwel onbepaald is. Elke waarde voldoet voor 0^0 en 0/0. 0^0 en 0/0 zijn onbepaalde vormen (indeterminate forms if you like). Dat is niet mijn verzinsel. Ter ondersteuning een paar bronnen: http://www.ikhebeenvraag.be/vraag/8457 http://mathworld.wolfram.com/Zero.html http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html De onbepaaldheid van 0^0 is een belangrijk aspect. Klakkeloos een afspraak volgen dat bijvoorbeeld 0^0=1 kan je problemen opleveren, bijvoorbeeld bij het bepalen van limieten. Het is ook een fundamenteel verschil met bijvoorbeeld 0!=1 wat ook een afspraak is maar geen onbepaaldheid. Moraal van het verhaal: 0^0=1 is een (de enige en meest logische) algemene afspraak, maar onthoud dat elke andere waarde ook voldoet. --FredHolland 18 aug 2010 13:48 (CEST)

Je kunt wel zo iets opschrijven als $0^{2-2}$, net zoals 0/0, maar het heeft geen betekenis, daarom volgt niet uit de rekenregels dat het gelijk is aan $0^{0}$. Het ziin beide ongedefinieerde uitdrukkingen.Madyno 18 aug 2010 23:31 (CEST)

0⁰ en 0/0 zijn gedefinieerd nl. dat ze onbepaald zijn. Ik heb drie bronnen gegeven waarin dit goed wordt onderbouwd. Bovendien kan je het ook nalezen op de engelse Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form . Jij beweert in het artikel (en hierboven) dat 0^0 (in bepaalde gevallen) ongedefinieerd is. Waar is jouw bewijs hiervoor? Ik heb hiervoor al aangegeven dat het feit dat 0^0 gelijk is aan 0/0 (wat jij om een mij onduidelijke reden betwist) enkel ter verduidelijking was. Ik had dit dan ook in mijn laatste wijziging weggelaten.

Overigens is ook de e-macht (onder "Definitie") niet correct (bedankt dat je mijn toevoeging hier, dat deze vergelijking alleen geldt voor positieve grondtallen, niet ongedaan hebt gemaakt):

$a^{x}=\exp \left(x\cdot \log(a)\right)$   moet zijn:

$a^{x}=e^{x\cdot \ln {a}}$    of    $a^{x}=10^{x\cdot \log {a}}$

--FredHolland 19 aug 2010 19:24 (CEST)

0⁰ en 0/0 zijn gedefinieerd nl. dat ze onbepaald zijn. Nee, dat klopt niet. Deze uitdrukkingen zijn - in het algemeen - net níet gedefinieerd (ze hebben geen zinvolle, eenduidige waarde) zoals een van je eigen bronnen overigens letterlijk vermeldt (0^0 itself is undefined. Mathworld). Een onbepaalde vorm betekent ook niet dat de waarde die het vertegenwoordigt afhankelijk van het geval waarin het voorkomt. Dat is veel te vaag en niet wiskundig. Het begrip "onbepaalde vorm" heeft maar zin in de context van limieten (van functies).

We noemen 0^0 onbepaald omdat de waarde van f(x)^g(x) waarbij zowel f als g naar 0 gaan, afhankelijk is van f en g; net zo bij 0/0. Dat verandert niets aan het feit dat "0 tot de macht 0" zelf niet gedefinieerd is door onze (gebruikelijke) definitie van machtsverheffing. Ander voorbeeld: deling door 0 is niet gedefinieerd, óók niet wanneer we 0 delen door 0. Het is niet omdat 0/0 in de context van limieten een onbepaalde vorm is, dat de bewerking "0 delen door 0" gedefinieerd is.

Omdat in sommige contexten de enige zinvolle waarde voor 0^0 gelijk is aan 1 (bv. door de interpretatie ervan in dat geval), of omdat het notaties in bepaalde contexten vergemakkelijkt, wordt in die contexten gekozen om 0^0 te definiëren (nu wel, want het valt niet onder een eerdere definitie van machtsverheffing) als 1.

Ik ga het niet direct aanpassen en wil wachten op een reactie van jou, Madyno en/of anderen; maar wat er nu staat is niet goed. Terzijde: het nut van de toevoeging van a^x als 10^(x.log(a)) snap ik niet; dit wordt zo goed als steeds met de exponentiële en natuurlijke logaritme gedaan. TD 20 aug 2010 09:29 (CEST)

Hallo TD, ik ben blij dat meer mensen zich in de discussie mengen. Allereerst over jouw laatste opmerking. Er stond: a^x=e^(x.log(a)). Dit is een foutieve verhaspeling van beide juiste uitdrukkingen die ik ervoor in de plaats heb gezet. Maar je hebt gelijk dat de 10-macht in deze context niet gebruikelijk is, en deze kan dus weg.

Nu over de 0^0 kwestie: Je schrijft: "...het feit dat "0 tot de macht 0" zelf niet gedefinieerd is door onze (gebruikelijke) definitie van machtsverheffing" en verder op: "...gekozen om 0^0 te definiëren (nu wel, want het valt niet onder een eerdere definitie van machtsverheffing) als 1." Maar de gevallen waarin gekozen wordt voor deze definitie (0^0=1) zijn nou juist bij uitstek gevallen van "het gebruikelijke" machtsverheffen, namelijk discrete gevallen a^3=a.a.a. Dus 0^0 is in dit geval wel en niet gedefinieerd?

Ik heb altijd geleerd dat bijvoorbeeld 1/0 ongedefinieerd is omdat geen enkele waarde kan voldoen, en dat 0/0 onbepaald is omdat er waardes zijn die (kunnen) voldoen, het is alleen onbepaald welke.

Maar goed, ik ben nu toch aan het twijfelen geslagen en heb eens gekeken bij het Engelstalige equivalent http://en.wikipedia.org/wiki/Power_(mathematics)#Zero_to_the_zero_power . Ik kreeg hierbij drie indrukken: De discussie die al eeuwen duurt zijn wij dunnetjes over aan het doen, die eeuwen van discussie hebben nog steeds geen eenduidige behandeling van 0^0 opgeleverd en de varianten in "ons" artikel zoals het was, van Madyno en van mij slaan de plank mis. Zoals ik het lees moet de conclusie zijn dat de eeuwen lange discussie heeft geleid tot twee stromingen:

Er zijn wiskundigen die redeneren dat de waarde van 0^0 afhangt van de context gebaseerd op gemak, niet op correctheid. Een vaste definitie is niet te geven.

Er zijn wiskundigen die redeneren dat 0^0=1, omdat het "1 moet zijn" ook al zijn er goede redenen om 0^0 te beschouwen als een ongedefinieerde limiet vorm (onbepaalde vorm?) en daarmee de waarde van 0^0 beschouwend als minder gedefinieerd dan bijvoorbeeld 0+0.

Als onderbouwing voor deze laatste opvatting wordt "Two notes on notation" van D.Knuth (1992) genoemd. Deze bron kom ik meer tegen als het over 0^0 gaat. Dit artikel staat als pdf hier: http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf . De voorbeelden die in "ons" artikel staan ter onderbouwing voor de keuze van 0^0=1 (2 ervan) worden ook door Knuth genoemd.

Ik neem het initiatief voorlopig niet om het artikel aan te passen. --FredHolland 20 aug 2010 14:18 (CEST)

Wat a^x=e^(x.log(a)) betreft, dat was niet fout (in wiskundige context is het namelijk gebruikelijk om "log" te noteren voor de natuurlijke logaritme) maar misschien wel verwarrend. Ondubbelzinnig is alvast de combinatie e/ln te gebruiken, dat is dan ook mijn voorsel.

Ik weet niet aan welke definitie jij precies denkt wanneer je het over dat discrete geval hebt. Met algemene definitie bedoelde ik degene die ook hier uiteindelijk wordt ingevoerd, nl. via de exponentiële en logaritmische functie. Voor natuurlijke getallen is dat 'meer dan nodig' en kan je volstaan met herhaald vermenigvuldigen als definitie, maar ook die definitie omvat het geval 0^0 niet. Het is dus iets dat je, als je dat wil, apart moet afspreken (definiëren). In sommige contexten is dat gebruikelijk, zoals bv. in de combinatoriek, waar een zekere interpretatie leidt tot de keuze van 1. In andere contexten net niet, zoals in de calculus, aangezien binnen de context van limieten van functies, het gedrag van f^g met f en g naar 0 afhankelijk is van f en g; dit is precies waarom het in deze context een "onbepaalde vorm" genoemd wordt.

Wat 1/0 en 0/0 betreft, deze 'uitdrukkingen' hebben op zich niets te maken met functies en zijn, als "wiskundige bewerkingen" (de deling van 1 door 0 en de deling van 0 door 0), niet gedefinieerd. Het laatste geval is echter wel, opnieuw in de context van limieten van functies, een onbepaalde vorm, terwijl 1/0 dat niet is. Dat verandert echter niets aan het feit dat de deling door 0 binnen de reële getallen niet gedefinieerd is en dat het schrijven van 1/0 of 0/0 dus geen zinvolle betekenis heeft.

Over de zin en onzin van (een definitie voor) 0^0 wordt inderdaad al lang gesproken. Iedereen is het er zowat over eens dat als je het wil definiëren, dat je dan 1 kiest. Daar zijn namelijk goede redenen voor en sommige ervan vind je in de referenties die zelf gaf. Toch blijft het binnen de context van limieten van functies een onbepaalde vorm, aangezien f^g niet noodzakelijk naar 1 gaat als f en g naar 0 gaan. Deze twee belangrijke vaststellingen (gebruikelijke definitie en de onbepaaldheid) mogen in het artikel zeker aan bod komen.

Je moet echter vooral goed uit elkaar houden dat een waarde toekennen aan 0 tot de macht 0 (dat zou een afspraak zijn, een definitie) iets anders is dan het feit dat 0^0 een onbepaalde vorm is. Immers, 0/0 is ook een onbepaalde vorm maar daaraan wordt (normaal gesproken) geen waarde toegekend, we definiëren het niet. TD 20 aug 2010 14:45 (CEST)

De combinatie e/ln is algemeen en ook conform de internationale norm (ISO 31-11). De combi e/log wordt volgens mij alleen in bepaalde vakgebieden gebruikt. Nu weer de 0^0: Ik heb al gezegd dat mijn vertrouwde wereldbeeld rondom 0^0 en 0/0 wankelt en ik beb niet direct een goede verwoording voor het artikel. Maar volgens mij is jouw verhaal ook nog steeds tegenstrijdig. Je schrijft:

"Dat verandert echter niets aan het feit dat de deling door 0 binnen de reële getallen niet gedefinieerd is en dat het schrijven van 1/0 of 0/0 dus geen zinvolle betekenis heeft."

"Deze twee belangrijke vaststellingen (gebruikelijke definitie en de onbepaaldheid) mogen in het artikel zeker aan bod komen."

Die "gebruikelijke definitie" 0^0=1 wordt nou juist binnen de reële getallen ("als wiskundige bewerkingen" zoals je het zelf noemt) gebruikt, bijvoorbeeld in het Binomium van Newton. Dus wel en niet gedefinieerd?

Dat de gebruikelijke definitie niet geldt in de calculus maar dat het hier als onbepaalde vorm beschouwd moet worden staat nu ook in het artikel (stond er origineel niet in) en ik denk, net als jij, dat het in een nieuwe versie aan bod moet komen. Het punt is dat er nu staat dat de onbepaaldheid altijd geldt. Dit komt in mijn beleving (min of meer) overeen met het standpunt van de "eerste groep wiskundigen" zoals hierboven genoemd. Het standpunt wat jij in neemt komt (als ik het goed begrijp) meer overeen met dat van de tweede groep wiskundigen om algemeen 0^0=1 te definiëren maar niet in de calculus. Ik denk dat het verstandig is om niet onze zienswijze of mening in het artikel te zetten (wie zijn wij tenslotte). Ik vertrouw de Engelstalige versie voldoende om dit in grote lijnen over te nemen. Ik denk dat we het moeten houden bij de genoemde twee stromingen met de voorbeelden uit "ons" artikel voor de reden van 0/0=1 en de toevoeging dat lim x^x (x naar 0) als onbepaalde vorm moet worden beschouwd.--FredHolland 20 aug 2010 16:42 (CEST)

0^0 valt niet binnen de (gewone) definitie van machtsverheffing en moet (t.t.z. kan, als je dat zou willen) dus apart gedefinieerd worden. Het is dus a priori als "bewerking" niet gedefinieerd, maar wordt binnen sommige contexten apart (aanvullend op de algemene definitie van machtsverheffing) gedefinieerd (als zijnde 1). Dat is niet tegenstrijdig.

De manier waarop het aspect van onbepaaldheid van deze vorm nu in het artikel staat, is helemaal niet wiskundig. Ik vind inderdaad dat het er in mag, maar niet zo; dit is niet goed. Ik verdedig overigens geen enkele van die twee stromingen.

De toevoeging die je op het einde suggereert is opnieuw een wiskundig slechte omschrijving. Nogmaals: binnen de context van limieten van functies, is 0^0 te beschouwen als een onbepaalde vorm. Aan lim(x->0+) x^x is helemaal niets onbepaald, die limiet is 1. TD 20 aug 2010 16:54 (CEST)

Ok, ik verstond wat anders (en je schreef volgens mij net ook wat anders), maar je eerste punt is nu duidelijk. Ik heb al twee keer hiervoor gezegd dat de huidige, die van mij dus, en vorige omschrijvingen in het artikel niet deugen, dus dat punt krijg je voor de derde keer van mij. En dat jij jezelf zo geweldig vindt (misschien wel terecht) dat jouw opvatting anders kan zijn dan de main stream opvattingen binnen de wiskunde is fantastisch. Wie kan dan beter het artikel aanpassen dan jij? Leef je uit! --FredHolland 20 aug 2010 17:30 (CEST)

En dat jij jezelf zo geweldig vindt (misschien wel terecht) dat jouw opvatting anders kan zijn dan de main stream opvattingen binnen de wiskunde is fantastisch. Ik weet niet waar je dat leest; jij plaatste me in een van beide hokjes, ik gaf enkel aan dat ik niet de absolute verdediging van een van die twee standpunten op me neem. Ik werd wel wat moe van het gevoel dat ik me moest herhalen, misschien was ik hiervoor gewoon niet duidelijk genoeg. Waarom je persoonlijk wordt, is me een raadsel. Ik vind mezelf hoegenaamd niet "zo geweldig", al vermoed ik wel dat ik hierover meer weet dan jij. Et alors? Verder leefde ik me nog niet uit om niet aan een edit-spelletje te beginnen (zoals eerder gemeld); ik zie overigens dat Madyno al aan de slag is gegaan. TD 20 aug 2010 17:44 (CEST)

Geef ik eens een complimentje is het weer niet goed, nou ja. Met jou als supervisor over dit artikel heb ik er alle vertrouwen in dat het goed komt. Is het artikel toch weer een beetje beter geworden dan dat het was, en dat is volgens mij de bedoeling.--FredHolland 20 aug 2010 18:01 (CEST)

Nul tot de macht nul

In het artikel wordt ook het aantal afbeeldingen van de lege verzameling naar zichzelf genoemd. Dat zou 1 zijn. Ook dit lijkt me nogal gekunsteld: $f:\emptyset \to \emptyset ;?\mapsto ?$. Madyno (overleg) 4 apr 2014 10:40 (CEST)

Misschien is het goed in het artikel op te nemen dat de afspraak $0^{0}=1$ alleen uit gemaksoogpunt wordt gemaakt, namelijk om bepaalde formules ook voor de waarde 0 doorgang te doen vinden, en alleen binnen deze context betekenis heeft.Madyno (overleg) 4 apr 2014 10:50 (CEST)

• Ad 1: inderdaad, dat is gekunsteld; het valt te overwegen dat te schrappen
• Ad 2: er staat nu 'ad hoc' en er wordt ook nog genoemd dat het een afspraak is; dat lijkt me correct en m.i. kan dat dus blijven staan; de toevoeging die je voorstelt lijkt me prima, dat geeft inderdaad meer helderheid

Groeten, Bob.v.R (overleg) 4 apr 2014 12:20 (CEST)

Als je schrijft "alleen uit gemaksoogpunt" dan zeg je in feite dat de plekken waar 0^0 wel gedefinieerd is dat die niet belangrijk zijn, zoals: het binomium van Newton, cardinaalgetallen, machtreeksnotatie $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$ (vul in x=0) en honderden andere formules zoals bijvoorbeeld $1/(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ voor alle |x|<1 (zonder de aanname 0^0=1 kun je die formules niet bewijzen. Wat je wel kunt bewijzen zonder de 0^0 aanname is dat $x^{0}/(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ voor alle |x|<1). Het probleem met 0^0 is dat er (a) veel boeken zijn die het niet definieren, en (b) diezelfde boeken op veel plekken aannemen dat 0^0=1. MvH 4 apr.

Deze niet middels vier tildes ondertekende overlegbijdrage is geplaatst door 128.186.104.253 op 4 april 2014 om 14:29 uur.

Bob, als ik het goed begrijp dan is de situatie ongeveer dit: Als je 0^0 tegenkomt als deel van een grotere formule (bijvoorbeeld door x=0 in te vullen in een welbekende formule), dan is 0^0 altijd 1. Kom je het echter 0^0 los tegen, niet als onderdeel van een grotere formule, dan is het onbepaald (behalve als die 0 een cardinaalgetal is want dan komt er weer 1 uit). Van de twee gangbare conventies: 0^0=onbepaald of 0^0=1, het lijkt me niet redelijk dat de tweede "ad hoc" genoemt wordt maar de eerste niet. In computerberekeningen is deze situatie heel onhandig want de computer weet niet of die 0^0 deel was van een grotere formule (en dus 1 is) of dat die los stond. Vandaar dat de IEEE standaard 1 is. MvH 4 apr.
Deze overlegbijdrage is geplaatst door 128.186.104.253 op 4 april 2014 om 15:43 uur.

Beste MvH, de voorbeelden die je geeft zijn ook op te stellen zonder de 'aanname' dat 0^0 = 1, alleen dan worden de formules langer. Dus dat maakt de term 'uit gemaksoogpunt' inhoudelijk correct. Mijn bezwaar tegen je redenering dat 0^0 in een grotere formule 'altijd 1 is', is dat het niet zuiver is. In feite is 0^0 namelijk altijd ongedefinieerd en elke geconstrueerde uitzondering daarop is ad hoc en wordt gemaakt uit pragmatische overwegingen ('uit gemaksoogpunt'). Bob.v.R (overleg) 4 apr 2014 17:47 (CEST)

Bob, het is niet zo dat 0^0 altijd ongedefinieerd is. De auteur van een boek of een artikel kan kiezen. In de 19e eeuw was 1 een priem. Tegenwoordig is dat niet meer zo. Niet zo lang geleden was Pluto een planeet, nu is dat niet meer zo. Definities kunnen veranderen, en er zijn tekstboeken waarin 0^0 wel gedefinieerd is. Dit is standaard in de verzamelingenleer en ook in de informatica (zie Knuth). Het probleem met 0^0 is dat calculus boeken schrijven dat 0^0 niet gedefinieerd is, en dan schrijven ze een bewijs van de binomiumformule dat aanneemt dat x^0=1 voor alle x. Het is echter toch wel redelijk om te eisen dat men eerlijk opschrijft welke aannames men feitelijk gebruikt! 128.186.104.253 4 apr 2014 18:16 (CEST)MvH

Even iets anders. MvH, wat is volgens jou de definitie van 'lege functie'? Bob.v.R (overleg) 4 apr 2014 22:21 (CEST)

Bob, volgens wikipedia is dit een functie: "Een volgens de verzamelingenleer precieze definitie van een functie is dat deze bestaat uit een geordend drietal verzamelingen, die kan worden geschreven als (X,Y,F). X is het domein van de functie,Y is het codomein, en F is een verzameling van geordende paren. In elk van deze geordende paren (a,b) komt het eerste element a uit het domein, komt het tweede element b uit het codomein, en is elk element uit het domein het eerste element in precies één geordend paar. De verzameling van alle b's staat bekend als het bereik van de functie." In deze definitie is de lege functie gelijk aan $(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )$. Het is duidelijk dat dit de enige functie van $\emptyset$ naar $\emptyset$ is. Vandaar dat 0^0 gelijk is aan 1 in de verzamelingenleer. 71.229.28.197 5 apr 2014 01:14 (CEST)MvH

What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school teachers disagree? Ahappylittletree (overleg) 5 apr 2014 01:40 (CEST)

MvH, dank je voor je reactie. Littletree, dank je voor de link; veel elementen uit onze discussie worden daar ook in genoemd. Bob.v.R (overleg) 5 apr 2014 02:23 (CEST)

Bob, ik ben het niet eens met de woorden "ad hoc" in het artikel. In de verzamelingenleer is niets ad hoc. Bovendien is 0^0=1 overal de standaard behalve in calculus, en is dit gebaseerd op fundamentele principes (lege som is 0, leeg product is 1) en niet op ad hoc argumenten. Wat wel ad hoc is is "ongedefinieerd" omdat dit in tegenstrijd is met wat iedereen gebruikt in de formules waar 0^0 via substitutie kan voorkomen. Er is hier denk ik ook nog een ander verschil van mening: de overtuiging dat wiskunde fundamenteel mooi en consistent is, en dat daarom de handigste definitie ook altijd de beste is. 0^0=1 is handig in een groot aantal formules (de waarde 0 is nooit handig, en het nut van de waarde "ongedefinieerd" verdwijnt zodra studenten weten dat ze functies en limieten niet mogen omwisselen als de functie niet continu is). Een ander punt is dit: die formules waar 0^0 in kan voorkomen, aangezien men in de praktijk geen uitzondering maakt voor dat geval, betekent dit dat iedereen (impliciet althans) de definitie 0^0=1 al hanteert. Volgens sci.math.faq is 0^0=1 de standaard voor de meeste wiskundigen. 71.229.28.197 5 apr 2014 14:18 (CEST)MvH

Dat 0^0 niet gedefinieerd is, wordt in de door Littletree gegeven link afdoende aangetoond. Een van de argumenten hiervoor is: 0^x = 0 voor bijna alle x, en a^0 = 1 voor bijna alle a. Maar er zijn meer argumenten. Wat betreft "ad hoc": de beschrijving in ad hoc lijkt me correct, er zijn specifieke gevallen waarin men gemakshalve 0^0=1 definieert. Ik ben met je eens dat het netjes is om dat daar dan ook te melden. Bob.v.R (overleg) 5 apr 2014 14:38 (CEST)

Dit en andere argumenten voor "ongedefinieerd" bevatten redeneerfouten. Bijvoorbeeld het argument dat 0^x=0 voor bijna alle x, dat klopt niet ("bijna alle" dat betekent: eindig veel uitzonderingen, dat klopt echter niet want alle 0^x=0 is fout voor alle negatieve x). Die "specifieke gevallen" dat is een flinke understatement. Die 0^0=1 conventie geldt in alle formules waar de exponent niet continue verandert. 71.229.28.197 5 apr 2014 15:17 (CEST)MvH

Misschien moeten we inmiddels eens nadenken over een apart artikel over dit onderwerp. Hoe dan ook, zojuist heb ik in het artikel de bewering verwijderd die stelt dat bij rekenen modulo a we bij machtsverheffen het grondtal mogen 'reduceren' modulo a mits gedefinieerd is dat 0^0=1. Ik betwijfelde dat. {Er geldt a^x = 0 modulo a voor alle gehele x >= 1. En er geldt dat b^0=1 als a en b relatief priem zijn.} Bij nader inzien moet ik echter toegeven dat ik geen tegenargument heb. Bob.v.R (overleg) 5 apr 2014 20:10 (CEST)

Bob, stel je werkt modulo een positief getal m. Als a en b congruent zijn mod m, dan zijn a^n en b^n ook congruent mod m. Pas je dit toe op a=0, b=m, en n=0, dan krijg je dat 0^0 en m^0 congruent zijn mod m. Dus 0^0 is congruent met 1 modulo elke m, en dat kan alleen also 0^0 gelijk is aan 1.

Dit is natuurlijk maar een van de vele voorbeelden. Het feit blijft dat als je 0^0 niet definieert, dan zijn er veel stellingen die je langer moet maken. Die langere formulering is echter niet standaard! Met andere woorden: we zitten "opgescheept" met een groot aantal stellingen die alleen kloppen als 0^0=1.

Omgekeerd is er is geen enkele stelling die fout wordt als je 0^0 wel als 1 definieert. Hoe kan ik dat weten? Wel, omdat wiskunde heel consistent is! Fundamentele principes zoals "leeg produkt is 1" worden impliciet op veel plekken gebruikt, als dat soort regels tot tegenspraken konden leiden dan waren we daar al lang achtergekomen. Pas ik dit principe toe op 0^0 dan kan ik er zeker van zijn dat 0^0=1 niet tot tegenspraken kan leiden. 71.229.28.197 5 apr 2014 21:27 (CEST)MvH

Wat blijft is dat je het per geval moet bekijken. In principe is 0^0 ongedefinieerd, maar er zijn situaties waarin men er toch een waarde voor 'definieert'. Bijvoorbeeld in het nu besproken geval leidt dat (hoewel niet inconsistent) tot een discontinuïteit: 0^3 = 5^3 = 0 mod 5, 0^2 = 5^2 = 0 mod 5, 0^1 = 5^1 = 0 mod 5, 0^0 = 5^0 = 1 mod 5. Het blijft opletten. Bob.v.R (overleg) 5 apr 2014 22:46 (CEST)

Je mag het per geval bekijken als je dat graag wilt, maar dat hoeft niet! Er zijn namelijk geen gevallen waarbij 0^0=1 tot een tegenspraak leidt. De "ongedefinieerd"-conventie is al heel lang overbodig; deze conventie dateert uit een tijd voordat discontinue functies algemeen aanvaard werden. Tegenwoordig zijn discontinue functies heel gewoon (zoals de "floor" functie), maar in de tijd van Gauss was dat nog niet zo. 71.229.28.197 5 apr 2014 23:12 (CEST)MvH

Afgeleide (2)

In het lemma over de afgeleide is vergeten te vermelden dat de afleiding van de formule voor willekeurige n bij n=1 niet geldt voor x=0. Madyno (overleg) 4 apr 2014 14:19 (CEST)

Dat kun je niet in het artikel zetten want geen enkel tekstboek schrijft dat. Het punt is dat als je kijkt wat de boeken feitelijk doen dan zie je dat men in veel bewijzen aanneemt dat x^0 altijd 1 is. Alle tekstboeken doen dat maar dit wordt niet altijd toegegeven. MvH 4 apr 2014 14:22 (CEST)

Deze niet middels vier tildes ondertekende overlegbijdrage is door 128.186.104.253 geplaatst op 4 april 2014 om 14:36 uur.

Logica

@Bob: Ik schreef ook: een 'zekere' logica. In jouw 'logica': 0+xxx, 0+xx, 0+x, 0+??????. Madyno (overleg) 4 apr 2014 22:30 (CEST)

In mijn 'tegenvoorbeeld' zou je op 0 uitkomen. Het probleem dat ik heb met de 'zekere logica' is dat niet aannemelijk wordt gemaakt dat het 'logisch' is om x.x.x te herschrijven als 1.x.x.x dus het lijkt me beter om dat stuk weg te laten. Bob.v.R (overleg) 4 apr 2014 22:39 (CEST)

Vind ik prima. Wel kom je in jouw logica niet op 0 uit, zoals ik aangaf, maar op 0+(ja wat zou hier moeten staan). Madyno (overleg) 4 apr 2014 23:05 (CEST)

Macht van een macht

Er ontbreekt, dat (x^a)^b gelijk is aan x^(a*b), maar alleen voor positieve, reëele waarden van x. Overigens is het bij de 0^0-discussie belangrijk te bedenken dat de limiet van x^x, voor x-> 0, gelijk is aan 1.
Bovenstaande niet middels vier tildes ondertekende overlegbijdrage is geplaatst op 16 mei 2015 om 14:51 uur door Secretarisvogel.

De eerstgenoemde formule staat op dit moment wel degelijk in het artikel. Wat betreft 0^0: in de externe link wordt de genoemde limiet wel behandeld, maar wordt aldaar ook gesteld dat hieruit niet zonder meer volgt dat 0^0 = 1. Bob.v.R (overleg) 16 mei 2015 16:02 (CEST)

Ik was (mea culpa) niet secuur genoeg. Waar het mij om gaat, is dat bij complexe waarden van x, a, of b de onderhavige gelijkheid niet opgaat. De 0^0-discussie is naar mijn idee meer een filosofische dan een wiskundige. – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door Secretarisvogel (overleg · bijdragen)