Particuliere oplossing

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde, in het bijzonder in de theorie van differentiaalvergelijkingen, wordt een willekeurige oplossing van een differentiaalvergelijking een particuliere oplossing genoemd. De bijhorende gedachte is dat die particiuliere oplossing leidt tot het opsporen van de hele oplossingsverzameling, de zogenaamde algemene oplossing. Dat is speciaal het geval bij (niet-homogene) lineaire differentiaalvergelijkingen.

Achtergrond[bewerken | brontekst bewerken]

Een lineaire differentiaalvergelijking kan geschreven worden als:

,

met een lineaire operator en een bekende functie.

Als een oplossing bekend is, de particuliere oplossing , kan elke andere oplossing verkregen worden als de som van deze particuliere oplossing en een oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking

Er geldt immers:

In veel gevallen kunnen alle oplossingen van de homogene vergelijking met standaardmethoden gevonden worden, en hoeft er alleen nog gezocht te worden naar een particuliere oplossing om alle oplossingen te kennen.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Beschouw de lineaire niet-homogene differentiaalvergelijking

De bijhorende homogene differentiaalvergelijking luidt

De algemene oplossing van de homogene vergelijking (d.i. de kern van de differentiaaloperator ) luidt

Een particuliere oplossing van de oorspronkelijke, niet-homogene vergelijking is

De algemene oplossing van de niet-homogene vergelijking luidt dus

Voor technieken om particuliere en homogene oplossingen op te sporen verwijzen we naar het artikel over differentiaalvergelijkingen.