Variatie van de parameters

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking bestaat uit de algemene oplossing van de homogene vergelijking (dus met rechterlid gelijk aan nul), plus een willekeurige particuliere oplossing van de volledige vergelijking. De variatie van de parameters is een methode om zo'n particuliere oplossing te vinden. Ze is breder toepasbaar dan de methode van de onbepaalde coëfficiënten, maar vereist ook meer rekenwerk.


Methode voor een 2de orde vergelijking[bewerken]

Beschouw de 2de orde lineaire differentiaalvergelijking:

y'' \, + a \, y' \, + b \, y  \, = \, f(x) \!

Hierbij kunnen a en b zelf ook functies van x zijn. Merk ook op dat de coëfficiënt van de tweede afgeleide gelijk aan 1 werd genomen. Dit is geen echte beperking, want indien hij niet 1 is kan de vergelijking door deze factor worden gedeeld zodat hij 1 wordt. Indien y_1(x) en y_2(x) onafhankelijke oplossingen zijn van de homogene vergelijking, dus met rechterlid gelijk aan nul, dan is algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking:

y_H(x) \, = \, C_1 \,y_1(x) \, + \, C_2 \,y_2(x) \!

De bedoeling is nu een particuliere oplossing, dus een oplossing van de volledige vergelijking, te vinden van de gedaante:

y_p(x) \, = \, C_1(x) \,y_1(x) \, + \, C_2(x) \,y_2(x) \!

Dit verklaart tevens de benaming van deze methode: de integratieconstanten uit de homogene oplossing worden als parameters beschouwd die kunnen variëren als functie van de onafhankelijke variabele x. De bedoeling is deze twee functie C_1(x) en C_2(x) te vinden.
In wat volgt wordt de variabele x niet verder opgenomen in de notatie om de formules overzichtelijk te houden. De afgeleide van deze vooropgestelde particuliere oplossing is dan:

y_p' \, = \, (C_1' \,y_1 \, + \, C_2' \,y_2) \, + \, (C_1 \,y_1' \, + \, C_2 \,y_2') \!

Stel nu als eerste eis op de onbekende functies C_1(x) en C_2(x) dat de eerste bijdrage in deze som nul is:


(1) \quad C_1' \,y_1 \, + \, C_2' \,y_2 \, = \, 0 \!


De tweede afgeleide van de particuliere oplossing is dus:

y_p'' \, = \, (C_1' \,y_1' \, + \, C_2' \,y_2') \, + \, (C_1 \,y_1'' \, + \, C_2 \,y_2'') \!

Door de uitdrukkingen voor y_p, y_p' en y_p'' in te vullen in de inhomogene differentiaalvergelijking, vindt men na het buiten haakjes halen van C1 en C2:

(C_1' \,y_1' \, + \, C_2' \,y_2') \, + C_1 \, (y_1'' \, + \, a \, y_1' \, + \, b \, y_1) \, + \, C_2 \, (y_2'' \, + \, a \, y_2' \, + \, b \, y_2) \, = \, f(x) \!

De tweede en derde bijdrage in deze som zijn echter nul want y_1 en y_2 zijn oplossingen van de homogene vergelijking. Dus blijft er over:


(2) \quad  C_1' \,y_1' \, + \, C_2' \,y_2' \, = \, f(x)  \!


De eisen (1) en (2) leveren nu een stelsel in de onbekenden C_1' en C_2'. De oplossingen van die stelsel kunnen vervolgens worden geïntegreerd om de gezochte functie C_1 en C_2 te vinden:

C_1(x) \, = \, \int C_1'(x) dx \quad ; \quad C_2(x) \, = \, \int C_2'(x) dx

zodat de particuliere oplossing gevonden is:

y_p(x) \, = \, C_1(x) \,y_1(x) \, + \, C_2(x) \,y_2(x) \!

De integratieconstanten bij de berekening van deze twee integralen kunnen zonder verlies van algemeenheid nul gekozen worden.

Voorbeeld van een 2de orde differentiaalvergelijking[bewerken]

De differentiaalvergelijking:

y'' \, + 4 \, y' \, + 3 \, y \, = \, \sin(2x) \!

Heeft als algemene homogene oplossing:

y_H \, = \, C_1 \, e^{-3x} \, + C_2 \, e^{-x}

Er wordt dus een particuliere oplossing gezocht van de vorm

y_p \, = \, C_1 \, e^{-3x} \, + C_2 \, e^{-x}

met C_1 en C_2 functies van x. De voorwaarden op de afgeleiden van deze twee functies zijn:

C_1' \, e^{-3x} \, + \, C_2' \,e^{-x} \, = \, 0
-3 \, C_1' \, e^{-3x} \, - \, C_2' \,e^{-x} \, = \, \sin(2x)

Met als oplossingen:

C_1' \, = \, -\tfrac{1}{2} \ e^{3x} \, \sin(2x) \quad ; \quad C_2' \, = \, \tfrac{1}{2} \ e^{x} \, \sin(2x)

zodat na integratie:

C_1(x) \,= \, \frac{e^{3x}}{13} \, (2 \, \cos(2x) \, - \, 3 \, \sin(2x))
C_2(x) \,= \, \frac{e^{x}}{10} \, (-2 \, \cos(2x) \, +  \, \sin(2x))

De particuliere oplossing is dus:

y_p(x) \, = \, -\frac{8}{65} \,\cos(2x) \,- \, \frac{1}{65} \,\sin(2x)

De algemene oplossing van de inhomegene vergelijking is dan

y(x)\, = \, a \, e^{-3x} \, + b \, e^{-x} + y_p(x)

waarbij a en b echte constanten zijn. Deze worden bepaald met behulp van de randvoorwaarden.

Hogere ordes[bewerken]

De methode kan veralgemeend worden voor differentiaalvergelijkingen van een hogere orde. Voor orde n dienen n functies C_k(x) gezocht te worden waarbij k loopt van 1 tot n. De afgeleiden van deze functies zijn de oplossingen van het stelsel:

C_1' \, y_1^{(0)} \, + \, ... \, + \, C_n' \, y_n^{(0)} \, = \, 0 \!
C_1' \, y_1^{(1)} \, + \, ... \, + \, C_n' \, y_n^{(1)} \, = \, 0 \!
....
C_1' \, y_1^{(n-2)} \, + \, ... \, + \, C_n' \, y_n^{(n-2)} \, = \, 0 \!
C_1' \, y_1^{(n-1)} \, + \, ... \, + \, C_n' \, y_n^{(n-1)} \, = \, f(x) \!

De determinant van dit stelsel is de zogenaamde Wronskiaan. De oplossingen dienen dan nog geïntegreerd te worden tot de gewenste functies C_k(x), en de gezochte particuliere oplossing is:

y_p(x) \, = \, C_1(x) \, y_1(x) \, + \, ...\, + \, C_n(x) \, y_n(x)  \!

waar y_k(x) weer de n onafhankelijke oplossingen uit de homogene oplossing zijn.