Commutativiteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Commutatief)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Algemeen gebruik[bewerken | brontekst bewerken]

De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.[1][2]

1. Een binaire operatie op een verzameling wordt commutatief genoemd als voor alle elementen geldt:

Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd

2. Een binaire functie wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen geldt:

In het algemeen zegt men dat twee elementen en commuteren onder de operatie , als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert.

Centralisator[bewerken | brontekst bewerken]

De centralisator van een element bestaat uit de elementen van die met commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling van bevat de elementen van die met alle elementen van commuteren.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Commutatieve handelingen in het dagelijks leven[bewerken | brontekst bewerken]

  • Bij het teruggeven van wisselgeld maken we gebruik van de commutativiteit van optellen. Het maakt immers niet uit in welke volgorde we de munten teruggeven, de munten tellen ongeacht de volgorde, waarin ze worden teruggegeven, altijd op tot hetzelfde bedrag.

Commutatieve operaties in de wiskunde[bewerken | brontekst bewerken]

De bekendste voorbeelden van binaire commutatieve operaties zijn optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen:

; voorbeeld: 5 + 2 = 7 = 2 + 5
; voorbeeld: 5 × 6 = 30 = 6 × 5

Andere commutatieve binaire operaties zijn o.a. optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, optellen van vectoren en het inproduct.

Niet-commutatieve operaties in de wiskunde[bewerken | brontekst bewerken]

Voorbeelden van operaties die niet commutatief zijn:

Commutator[bewerken | brontekst bewerken]

De groepentheorie en de theorie der ringen hanteren elk een verschillend begrip van commutator, dit is een element dat intuïtief de mate aangeeft waarin en niet commuteren.

Commutatief diagram[bewerken | brontekst bewerken]

In de categorietheorie is een diagram commutatief als elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.

Voetnoten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]