Rang (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is rang een eigenschap van een stelsel vectoren, en daarvan afgeleid ook een eigenschap van lineaire afbeeldingen en matrices. De rang van een stelsel vectoren is het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren in het stelsel, of equivalent de dimensie van de door het stelsel voortgebrachte deelruimte. De rang is een soort maat voor de hoeveelheid informatie in het stelsel. Een stelsel vectoren dat bestaat uit de herhaling van dezelfde vector vertelt niet meer dan die ene vector zelf: de rang is één. Zo ook voor een stelsel van een vector en veelvouden daarvan. Voegen we aan een stelsel vectoren een lineaire combinatie van deze vectoren toe, dan voegt dat niets toe wat we niet al wisten: de rang verandert niet. Laten we uit een stelsel vectoren elke vector weg die als lineaire combinatie van de overige te schrijven is, dan verandert de rang niet. We houden een lineair onafhankelijk stelsel over, het aantal vectoren daarin is de rang van het stelsel.

Men spreekt bij een matrix van de kolommenrang als de rang van het stelsel vectoren gevormd door de kolommen van een matrix. Evenzo voor de rijenrang van een matrix. Omdat de kolommenrang gelijk is aan de rijenrang heet de gemeenschappelijke waarde ook de rang van de matrix.

De rang van de getransponeerde matrix is gelijk aan de rang van de originele matrix.

Definities[bewerken]

Onder de rang van een stelsel vectoren verstaat men het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren in dat stelsel, of equivalent daarmee de dimensie van de door het stelsel opgespannen (voortgebrachte) ruimte.

Onder de rang van een lineaire afbeelding verstaat men de dimensie van de beeldruimte.

Onder de kolommenrang van een matrix verstaat men de rang van de als vectoren opgevatte kolommen van de matrix.

Onder de rijenrang van een matrix verstaat men de rang van de als vectoren opgevatte rijen van de matrix.

Een niet direct voor de hand liggende eigenschap is dat de kolommenrang en de rijenrang aan elkaar gelijk zijn. Die gemeenschappelijke waarde heet de rang van de matrix.

We kunnen dan ook zeggen: de rang van een matrix is het maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen van een matrix, of ook het aantal niet-nul rijen dat overblijft in de rij-echelonvorm van de matrix.

Reguliere matrix[bewerken]

Een vierkante matrix van volledige rang wordt een reguliere matrix genoemd. Of met andere woorden: een reguliere matrix heeft onafhankelijke kolommen en rijen. Een matrix die niet regulier is, heet singulier.

In de praktijk is dit te controleren door de matrix te vegen of door de determinant te bepalen. De matrix is precies dan regulier als deze geveegde matrix equivalent is met de eenheidsmatrix of als de determinant verschillend is van nul, en dus singulier in het andere geval.

Bij een reguliere oplossing snijden drie vlakken elkaar in een punt. Het gedeelte waar twee van de vlakken elkaar snijden vormt een lijn. Deze lijn staat schuin of loodrecht op het derde vlak en ergens is er een punt, ofwel 3D coördinaat, waar ze elkaar snijden.

Bij een singuliere oplossing loopt het derde vlak evenwijdig aan de lijn die gevormd wordt door het snijden van de twee andere vlakken. Het kan nu zijn dat deze lijn precies in het derde vlak loopt: de oplossing is geen punt maar een lijn, ofwel een 3D (steun- en richtings)vector. Het kan ook zijn dat het derde vlak overal op dezelfde afstand van de lijn ligt: ze snijden elkaar nooit dus er is geen oplossing.

Voorbeeld[bewerken]

Stel dat de matrix A gegeven wordt door:

A=\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\\-2&-2&0\end{bmatrix}.

De kolom (0,5,0) is een van de basisvectoren van de door de kolommen opgespannen ruimte. Van de beide andere kolommen trekken we de component in de richting van (0,5,0) af. Zo blijven: (4,0,-2) en (-1,0,-2) over. Dit zijn geen veelvouden van elkaar, dus spannen ze samen met (0,5,0) 3 dimensies op. De rang van A is dus 3.

De hierboven gevolgde redenering kan gesystematiseerd worden, en is dan analoog aan het bepalen van de echelonvorm (ook wel de standaardvorm genaamd). De echelonvorm van A is:

\begin{bmatrix}1&-1/4&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}.

Het aantal niet-nulrijen is 3, dus de rang van matrix A is 3.


Wordt de matrix echter gegeven door

A=\begin{bmatrix}4&-1&1\\2&-3&1\\-2&-2&0\end{bmatrix}.

dan vertoont de echelonvorm van de matrix

\begin{bmatrix}4&-1&1\\0&-5/2&1/2\\0&0&0\end{bmatrix}.

een nulrij, de rang van deze matrix is dan ook slechts 2 (merk op dat de middelste rij de som is van de bovenste en onderste): de rijen (en kolommen) zijn lineair afhankelijk.

Merk op: de rang van een matrix is tevens gelijk aan de orde van zijn grootst mogelijke vierkante submatrix, waarvan de determinant verschillend is van nul.