Fourierreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Nuvola single chevron right.svg Dit artikel beschrijft het begrip fourierreeks wiskundig. Voor een algemene inleiding en toepassingen, zie Fourieranalyse.

Een fourierreeks is een (eventueel oneindige) lineaire combinatie van 'standaardfuncties' die een benadering vormt van een willekeurige periodieke functie, mits deze aan bepaalde voorwaarden voldoet. Voor het bestaan van de fourierreeks is het voldoende als de periodieke functie begrensd is. De gebruikte standaardfuncties zijn sinus- en cosinusfuncties, dan wel de complexe e-macht. De coëfficiënten worden bepaald met fourieranalyse, een techniek ontwikkeld door Jean-Baptiste Joseph Fourier.

Geschiedenis[bewerken]

Voor Fourier was de reeks

\frac{x}{2} = \sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \ldots

reeds bekend. Het is een goniometrische reeks, een som van goniometrische functies cos(nx) en sin(nx) die reeds gevonden was door Euler, die er niet bij vermeldde hoe hij eraan kwam, noch dat de reeks enkel geldt als -\pi<x<\pi.

Fourier zag in dat deze functie niet op zichzelf stond; hij vermoedde dat elke functie geschreven kon worden als een som van sinussen en cosinussen met bepaalde coëfficiënten, te zijner ere fouriercoëfficiënten genaamd.

Aanvankelijk stonden Fouriers tijdgenoten (o.a. Lagrange) er weigerachtig tegenover. Het bezwaar was dat niet iedere periodieke functie als fourierreeks geschreven kan worden. Een voorbeeld is de tangens, perfect periodiek, maar niet als fourierreeks te schrijven. Het was de wiskundige Johann Dirichlet, van een latere generatie, die een aantal aanvullende voorwaarden heeft opgesteld waaraan de functie moet voldoen. Deze voorwaarden zijn:

  1. De functie f(x) moet integreerbaar zijn op een interval ter grootte van 1 periode.
  2. Het aantal discontinuïteiten van f(x) moet op dat interval eindig zijn.
  3. De afgeleide van f(x) mag op een eindig aantal punten op dat interval discontinu zijn.

Theorie[bewerken]

De vraag is of er een systematische manier is om een periodieke functie f (voor het gemak is als periode 2π gekozen) te benaderen door een goniometrische reeks, dat wil zeggen door een reeks van de vorm:

\,\tilde{f}(x)=a_0+a_1\cos(x)+b_1 \sin(x)+a_2\cos(2x)+b_2 \sin(2x)+....

De coëfficiënten dienen zo bepaald te worden dat de afstand tussen f en de reeks zo klein mogelijk is, waarbij de afstand gegeven is door de norm:

\,\|f-\tilde{f}\| = \sqrt{\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi} (f(x)-\tilde{f}(x))^2 dx }.

Men kan het zich gemakkelijker maken door te bedenken dat deze norm geïnduceerd wordt door het inproduct:

\langle f,g \rangle = \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)g(x)dx\, .

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

Orthogonale projectie[bewerken]

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

a_0 = \langle f,1 \rangle = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)dx \,

en voor n>1:

a_n=\frac{\langle f,\cos(nx)\rangle}{\langle \cos(nx),\cos(nx)\rangle}=2\langle f, \cos(nx) \rangle = \frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) dx

en analoog:

b_n=\frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx)dx\,

Een willekeurige op (0, 2π) periodieke functie f, waarvoor de bovengenoemde reeks bestaat, kan dus benaderd worden door:

\! f(x)\approx a_0+
\! +b_1 \sin(x)+b_2 \sin(2 x)+b_3 \sin(3 x)+...
\! +a_1 \cos(x)+a_2 \cos(2 x)+a_3 \cos(3 x)+...,
=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))

Voor functies die stuksgewijs continu differentieerbaar zijn, dat wil zeggen die slechts eindig veel discontinuïteitspunten hebben, waarin zowel de linker- als de rechterlimiet als de linker- en rechter afgeleide bestaan, en overigens differentieerbaar zijn met continue afgeleide, convergeert de reeks in de punten x waar f continu is puntsgewijs naar f(x). In de discontinuïteitspunten convergeert de reeks naar een gemiddelde waarde tussen de linker- en rechterlimiet.

Wiskundige achtergrond[bewerken]

We kunnen ook een meetkundige voorstelling maken, en de fourierreeks opvatten als de beste benadering van de functie f in de deelruimte voortgebracht door een eindig aantal sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat). Die beste benadering is dan de projectie van de functie op die deelruimte. Die projectie is een lineaire combinatie van de voortbrengende functies. Vormen deze t.o.v. een inproduct een orthonormaal stelsel, dan zijn de coëfficiënten eenvoudig de inproducten van f met de elementen van het orthonormale stelsel. Als het stelsel niet genormeerd is, moeten de coëfficiënten nog geschaald worden.

De natuurlijke context voor deze meetkundige interpretatie van fourierreeksen is de Hilbertruimte L^2[-\pi,+\pi]. Functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn, worden ingedeeld in equivalentieklassen. Het inproduct van twee functieklassen is de integraal van het product van de bijhorende functies. In plaats van de hogergenoemde voorwaarden van Dirichlet, eisen we gewoon dat de functie f kwadratisch Lebesgue-integreerbaar is (zie Lp-ruimte).

Inwendig product[bewerken]

Zoals boven opgemerkt zijn de relevante cosinussen en sinussen orthogonaal t.o.v. het inproduct voor complexwaardige functies:

\langle f,g\rangle =\frac 1T \int_T f(t)\overline{g(t)}dt,

waarin T de betrokken periode is.

Orthonormale functies[bewerken]

In plaats van sinussen en cosinussen kunnen ook de complexe e-machten \,\phi_k(t)=e^{i k \omega t}, met \omega=2 \pi/T, als orthogonaal stelsel gekozen worden. Dit stelsel is zelfs orthonormaal, want:

\langle \phi_m,\phi_n\rangle = \frac 1T \int_T e^{i m \omega t} e^{-i n \omega t}dt = \delta_{mn}.

Hierbij is \delta_{mn} de Kronecker delta.

Coëfficiënten[bewerken]

Een functie f wordt nu benaderd door de reeks:

\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \phi_k.

De coëfficiënten c_k zijn bepaald door:

\! c_k= \langle f,\phi_k\rangle = 1/T \int_T f(t) e^{-i k \omega t} dt.

De functies

\phi_k:t\mapsto e^{i k \omega t},\ k=0,\pm1,\pm2,\ldots

gedragen zich zoals orthonormale basisvectoren in een eindigdimensionale vectorruimte met scalair product, behalve dat de "lineaire combinaties" van basisvectoren oneindige reeksen mogen zijn. Een dergelijk stel basisvectoren noemt men in het algemeen een Schauderbasis van de genormeerde vectorruimte.

Opmerkingen[bewerken]

Convergentie[bewerken]

Convergentie in de Hilbertruimte L^2[-\pi,\pi] betekent dat:

\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(t)-\sum_{n=-N}^{N}
c_n\,e^{in\omega t}\right|^2\,dt=0

We spreken van convergentie in norm, of ook van convergentie in kwadratisch gemiddelde. Dit hoeft overigens niet te betekenen dat er ook puntsgewijze convergentie is, maar wel convergentie bijna overal.

Verwisselbaarheid van limieten en Lebesgue-integralen wordt onder bepaalde voorwaarden gegarandeerd door de stelling van de gedomineerde convergentie of door de monotone convergentiestelling.

Gedrag coëfficiënten[bewerken]

Men kan bewijzen dat voor een continue functie de fouriercoëfficiënten dalen met k volgens \frac{1}{k^3}; voor continu differentieerbare functies dalen de coëfficiënten volgens \frac{1}{k^4}. Voor niet-continue functies, zoals de hierboven genoemde "zaagtandfunctie" f(x)=x/2 (voor |x|< π) , dalen de coëfficiënten volgens \frac{1}{k}.

Gibbs-verschijnsel[bewerken]

Gibbs-verschijnsel: boven- en ondersprong

Zowel de cosinus, de sinus als e^{\imath k \omega_0 x} zijn continue functies, zodat de benadering een continue functie is. Dus is ook de benadering van een discontinue functie een continue functie. In een discontinuïteitspunt van een functie met een sprong, maakt de fourierreeks noodzakelijk een boven- en ondersprong (zie afbeelding). Dit wordt Gibbs-verschijnsel genoemd.

Eigenschappen[bewerken]

De volgende eigenschappen voor de bepaling van de fourierreeks kunnen eenvoudig (door de definitie) bewezen worden. We geven de eigenschappen enkel voor ck.

Verband coëfficiënten ak, bk en ck[bewerken]

Voor de eenvoud veronderstellen we een reële functie, dan is het verband gegeven door:

\!a_0 = 2 \cdot c_0
\!a_n = c_n + c_{-n}
\!b_n = \mathrm{i} (c_n - c_{-n})

Parseval[bewerken]

De relatie tussen een functie met periode T en zijn fouriercoëfficiënten is normbehoudend, wat uitgedrukt wordt in de stelling van Parseval:

\frac 1T \int_T|f(x)|^2 dx = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2.

Praktisch betekent dit dat het vermogen van een signaal f, verdeeld is over z'n spectrale componenten.

Rekenregels[bewerken]

Een aantal eigenschappen van de fourierreeks zijn:

Functie Fouriercoëfficiënten Eigenschap
\! \alpha f(t) + \beta g(t) \!\alpha f_{k}+\beta g_{k} Lineariteit
\!f(t-\tau) \!e^{-ik \omega_{0}\tau}f_{k} Tijdsverschuiving
\!f(-t) \!f_{-k} Tijdsomkering
\!f^{*}(t) \!f^{*}_{-k} Conjugatie
\!e^{in\omega _{0}t}f(t)

 (n\in \mathbb{Z}) \!f_{k-n} Frequentieverschuiving

Voorbeelden[bewerken]

Driehoekspuls[bewerken]

Goede benadering met 6 termen.

We kiezen de maximale waarde 1 en de minimale -1.

 f(x) = \left\{ \begin{matrix}
1+\frac 2{\pi}x &\mbox{als }& -\pi < x \le 0 \\
\,\\
1-\frac 2{\pi}x &\mbox{als }& 0< x \le \pi \end{matrix} \right.

Deze even functie laat zich door cosinustermen benaderen:

f(x)= \tfrac{8}{\pi^2}\left\{\cos (x) + \tfrac{1}{3^2}\cos (3x) + \tfrac{1}{5^2}\cos (5x) + \ldots\right\}

Deze driehoekspuls is continu, de coëfficiënten dalen derhalve vrij sterk, de benadering is reeds na een klein aantal termen goed.

Blokgolf[bewerken]

Na 500 termen is de blokgolf nog redelijk benaderd.
f(x) =
\begin{cases}
-1 & \mbox{als }\ -\pi < x < 0 \\
 1 & \mbox{als }\ 0 < x < \pi \\
 0 & \mbox{als }\ x = 0, \pi
\end{cases}

Dit is een oneven functie, die dus door uitsluitend sinussen benaderd kan worden.

f(x)=\tfrac{4}{\pi}\left\{\sin(x) + \tfrac 13\sin(3x) + \tfrac 15\sin(5x)+ \ldots\right\}

De blokgolf is niet continu, dus de coëficiënten dalen ook niet sterk. De benadering van een blokgolf is zelfs bij een groot aantal termen nog steeds niet goed.

Zaagtandpuls[bewerken]

Zwakke benadering met 11 termen.

We kiezen de maximale waarde 1 en de minimale -1.

f(x) = \begin{cases}
\frac 1{\pi}x & \mbox{als }-\pi < x < \pi \\
\,\\
0 & \mbox{als }\ x =\pi
\end{cases}

Deze oneven functie laat zich volledig door sinustermen benaderen:

f(x)= \tfrac{2}{\pi}\left\{\sin (x) -\tfrac {1}{2}\sin (2x) + \tfrac {1}{3}\sin (3x) - \ldots\right\}.

Deze zaagtandpuls is niet continu, dus de coëfficiënten dalen niet sterk. De benadering is dus na een vrij groot aantal termen toch nog steeds niet goed.

Wikibooks Wikibooks heeft een studieboek over dit onderwerp: Fourieranalyse.