Signum (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Grafiek van de signumfunctie (let op de nulwaarde in de oorsprong)

Het signum, als functie vaak aangeduid als sgn, is een eenvoudige wiskundige functie die, zoals de naam min of meer zegt[1], het teken van het argument aangeeft. Een negatief getal heeft het teken , het getal het teken en een positief getal heeft het teken :

Het gebruik van de functie signum maakt het in sommige gevallen mogelijk één uitdrukking te hanteren in plaats van de diverse gevallen te onderscheiden. In plaats van te schrijven:

kan volstaan worden met de uitdrukking:

Eigenschappen[bewerken | bron bewerken]

Elk reëel getal kan worden uitgedrukt als het product van de absolute waarde en de signumfunctie ervan:

Voor geldt:

en dan dus ook:

Voor is de signumfunctie de afgeleide van de absolutewaardefunctie.

Voor alle reële waarden van is de signumfunctie differentieerbaar, met afgeleide 0.

Voorbeeld[bewerken | bron bewerken]

Grafiek van de functie

Een voorbeeld van het gebruik van het signum is de volgende functie (de grafiek ervan staat in de hiernaast staande figuur):

met:

Subsitutie van in de functie geeft:

Deze laatste uitdrukking heeft geen reële waarde. De functie bestaat daarmee niet voor .

Deze functie kan ook beschreven worden met het voorschrift:

Hierna volgt de afleiding daarvan.

Afleiding[bewerken | bron bewerken]

Allereerst is:

  • voor
voor
  • voor
voor
  • voor
voor
  • voor
voor

Het functievoorschrift kan hiermee nu worden geïnterpreteerd als:

Als negatief is, geldt:

Is positief, dan is:

Dus is het voorschrift van inderdaad te schrijven als:

Verder is, en zie ook de grafiek van hierboven:

Daarmee kan dan de functie voor continu gemaakt worden door te definiëren:

De continumakende waarde voor is dus gelijk aan . Hier is er dus sprake van ophefbare discontinuïteit.

Toepassing[bewerken | bron bewerken]

Kromme van Lamé met

Een lid van de familie krommen van Lamé (de zogenoemde superellipsen) wordt in een cartesisch coördinatenstelsel gedefinieerd door:

met en

Deze kromme is, evenals een ellips die met ook tot die familie behoort, symmetrisch in de x- en de y-as. Met is de lengte van de grote as gelijk aan 6; die van de kleine as is 4. Wordt deze vergelijking geschreven als:

dan ligt het, ten behoeve van een parametervergelijking met de parameter , voor de hand te stellen:

of

Met de signumfunctie zijn beide laatste relaties dan te schrijven als:

Noten[bewerken | bron bewerken]

  1. Lat. signum (meervoud signa) komt van het werkwoord signare dat inkerven, markeren betekent. Signum betekent daarmee dus iets als 'dat wat gemarkeerd is'.