Monotone functie
Naar navigatie springen
Naar zoeken springen
In de wiskunde is een monotone functie een functie die de orde bewaart, dus die bij toenemend argument of niet daalt of niet stijgt. Anders gezegd: bij toenemende neemt niet af, of bij toenemende neemt niet toe.
Definitie[bewerken | brontekst bewerken]
Een reëelwaardige functie gedefinieerd op (een deelverzameling van) de reële getallen heet stijgend (ook monotoon stijgend of monotoon niet-dalend), als voor alle en geldt:
Geldt bovendien:
dan heet strikt stijgend.
Analoog heet dalend (ook monotoon dalend of monotoon niet-stijgend), als voor alle en geldt:
Geldt bovendien:
dan heet strikt dalend.
Een stijgende of dalende functie heet een monotone functie.
Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]
Een monotone functie heeft de volgende eigenschappen:
- in elk punt van het domein bestaan de linker- en rechterlimieten van ;
- de limiet van in of bestaat eigenlijk of oneigenlijk ( of );
- heeft alleen maar sprongdiscontinuïteiten;
- de punten waarin discontinu is, zijn ten hoogste aftelbaar.
Stellingen[bewerken | brontekst bewerken]
- Een monotone functie gedefinieerd op een begrensd interval is riemann-integreerbaar.
- Een monotone functie gedefinieerd op een interval is bijna overal (dat wil zeggen op een verzameling van lebesgue-maat 0 na) op differentieerbaar.