Monotone functie

Monotoon stijgende functie

Monotoon dalende functie

Niet-monotone functie

In de wiskunde is een monotone functie een functie die de orde bewaart, dus die bij toenemend argument of niet daalt of niet stijgt.

Populair gezegd: bij toenemende $x$ neemt $f(x)$ ook toe, of althans niet af, of neemt $f(x)$ juist af, of althans niet toe.

Definitie

Een reëelwaardige functie $f$ gedefinieerd op (een deelverzameling van) de reële getallen heet stijgend (ook monotoon stijgend of monotoon niet-dalend), als voor alle $x$ en $y$ geldt:

$x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y).$

Geldt bovendien:

$x<y\Rightarrow f(x)<f(y),$

dan heet $f$ strikt stijgend.

Analoog heet $f$ dalend (ook monotoon dalend of monotoon niet-stijgend), als voor alle $x$ en $y$ geldt:

$x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y).$

Geldt bovendien:

$x<y\Rightarrow f(x)>f(y),$

dan heet $f$ strikt dalend.

Een stijgende of dalende functie heet een monotone functie.

Eigenschappen

Een monotone functie $f$ heeft de volgende eigenschappen:

• in elk punt van het domein bestaan de linker- en rechterlimieten van $f;$
• de limiet van $f$ in ∞ of −∞ bestaat eigenlijk of oneigenlijk (∞ of −∞);
• $f$ heeft alleen maar sprongdiscontinuïteiten;
• de punten waarin $f$ discontinu is, zijn ten hoogste aftelbaar.

Verder gelden de volgende stellingen:

Stellingen

• Een monotone functie gedefinieerd op een begrensd interval is Riemann-integreerbaar.

• Een monotone functie gedefinieerd op een interval $D$ is bijna overal (dat wil zeggen op een verzameling van Lebesgue-maat 0 na) op $D$ differentieerbaar.