Monotone functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Monotoon stijgende functie
Monotoon dalende functie
Niet-monotone functie

In de wiskunde is een monotone functie een functie die de orde bewaart, dus die bij toenemend argument of niet daalt of niet stijgt.

Populair gezegd: bij toenemende x neemt f(x) ook toe, of althans niet af, of neemt f(x) juist af, of althans niet toe.

Definitie[bewerken]

Een reëelwaardige functie f gedefinieerd op (een deelverzameling van) de reële getallen heet stijgend (ook monotoon stijgend of monotoon niet-dalend), als voor alle x en y geldt:

x \le y \Rarr f(x) \le f(y).

Geldt bovendien:

x < y \Rarr f(x) < f(y),

dan heet f strikt stijgend.

Analoog heet f dalend (ook monotoon dalend of monotoon niet-stijgend), als voor alle x en y geldt:

x \le y \Rarr f(x) \ge f(y).

Geldt bovendien:

x < y \Rarr f(x) > f(y),

dan heet f strikt dalend.

Een stijgende of dalende functie heet een monotone functie.

Eigenschappen[bewerken]

Een monotone functie f heeft de volgende eigenschappen:

  • in elk punt van het domein bestaan de linker- en rechterlimieten van f;
  • de limiet van f in ∞ of −∞ bestaat eigenlijk of oneigenlijk (∞ of −∞);
  • f heeft alleen maar sprongdiscontinuïteiten;
  • de punten waarin f discontinu is, zijn ten hoogste aftelbaar.


Verder gelden de volgende stellingen:

Stellingen[bewerken]