Monotone functie

Monotoon stijgende functie

Monotoon dalende functie

Niet-monotone functie

In de wiskunde is een monotone functie een functie die de orde bewaart, dus die bij toenemend argument of niet daalt of niet stijgt.

Populair gezegd: bij toenemende x neemt f(x) ook toe, of althans niet af, of neemt f(x) juist af, of althans niet toe.

Definitie

Een reëelwaardige functie f gedefinieerd op (een deelverzameling van) de reële getallen heet stijgend (ook monotoon stijgend of monotoon niet-dalend), als voor alle x en y geldt:

$x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y).$$x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y).$

Geldt bovendien:

$x<y\Rightarrow f(x)<f(y),$$x<y\Rightarrow f(x)<f(y),$

dan heet f strikt stijgend.

Analoog heet f dalend (ook monotoon dalend of monotoon niet-stijgend), als voor alle x en y geldt:

$x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y).$$x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y).$

Geldt bovendien:

$x<y\Rightarrow f(x)>f(y),$$x<y\Rightarrow f(x)>f(y),$

dan heet f strikt dalend.

Een stijgende of dalende functie heet een monotone functie.

Eigenschappen

Een monotone functie f heeft de volgende eigenschappen:

• in elk punt van het domein bestaan de linker- en rechterlimieten van f;
• de limiet van f in ∞ of −∞ bestaat eigenlijk of oneigenlijk (∞ of −∞);
• f heeft alleen maar sprongdiscontinuïteiten;
• de punten waarin f discontinu is, zijn ten hoogste aftelbaar.

Verder gelden de volgende stellingen:

Stellingen

• Een monotone functie gedefinieerd op een begrensd interval is Riemann-integreerbaar.

• Een monotone functie gedefinieerd op een interval D is bijna overal (dat wil zeggen op een verzameling van Lebesgue-maat 0 na) op D differentieerbaar.