Derdemachtswortel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De derdemachtswortel (soms ook kubuswortel) van een reëel getal x, genoteerd als \sqrt[3]{x}, is het reële getal a dat tot de derde macht verheven gelijk is aan x. Anders geformuleerd:

a=\sqrt[3]{x} \Leftrightarrow a^3=x

Een alternatieve notatie voor de derdemachtswortel is

\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}

Voorbeelden[bewerken]

De derdemachtswortel van 8:

\sqrt[3]{8}=2, omdat \,2^3=8.

De derdemachtswortel van 125:

\sqrt[3]{125}=5, omdat \,5^3=125.

De derdemachtswortel van een miljoenste:

\sqrt[3]{0,000 001}=0,01, omdat \, 0,01^3=0,000 001.

De derdemachtswortel van 27.000:

\sqrt[3]{27.000}=30, omdat \,30^3=27.000.

De derdemachtswortel van 1:

\sqrt[3]{1}=1, omdat \,1^3=1.

De derdemachtswortel van -64:

\sqrt[3]{-64}=-4, omdat \,(-4)^3=-64.

Als nulpunt van een derdegraads polynoom[bewerken]

De derdemachtswortel is ook op te vatten als de oplossing van een algebraïsche vergelijking, ofwel als een nulpunt van een derdegraads polynoom. In het geval van \sqrt[3]{125}=5 gaat het om de volgende vergelijking:

x^3 - 125 = 0

Nadat de wortel 5 is gevonden, kunnen we deze vergelijking ontbinden in factoren:

(x-5)\cdot(x^2+5x+25) = 0

Er zijn nog meer wortels, namelijk de oplossingen van de tweede factor, maar die zijn vanwege de negatieve discriminant duidelijk niet reëel.

Bij complexe getallen[bewerken]

In het artikel Complex getal wordt beschreven hoe derdemachtswortels van complexe getallen worden bepaald.

Geschiedenis[bewerken]

Heron van Alexandrië geeft in zijn boek Metrica (1e eeuw na Christus) al een manier om de derdemachtswortel uit een getal N te benaderen, die kan worden geschreven als:

a + bd/(bd + aD) · (b – a), waarin a3 < N < b3, d = N – a3, D = b3 – N.

Benadering van derdemachtswortels[bewerken]

Het berekenen van een (derdemachts)wortel is geen elementaire rekenoperatie zoals optellen of vermenigvuldigen. Om met deze operaties een benadering van een wortel te vinden (een irrationaal getal kan per definitie nooit exact in decimale notatie worden weergegeven dus een benadering is het best mogelijke) wordt daarom een rekenschema een aantal keer herhaald (iteratie).

Een meetkundig aanschouwelijke aanpak is: de gezochte derdemachtswortel van het getal c is de lengte van de zijde van een kubus met inhoud c. Benader die kubus nu door een rij balken met vierkant grondvlak en vaste inhoud c. Van elke volgende balk in de rij is de zijde van het grondvlak het gemiddelde van de zijden van zijn voorganger. De hoogte wordt zo gekozen dat de inhoud gelijk blijft.

De gezochte wortel ligt altijd tussen de zijde van het grondvlak en de hoogte van de balk, wat meteen een schatting voor de fout oplevert. Het verschil tussen deze lengtes neemt steeds met meer dan de helft af, de methode convergeert dus snel. Herhaal het procedé tot de fout voldoende klein is.

Deze rekenmethode is equivalent met het Newton-Raphson-algoritme, toegepast op de functie f(x) = x^3 - c. Het te benaderen nulpunt van deze functie is de derdemachtswortel uit c.

Rekenmachine[bewerken]

De meeste rekenmachines hebben de mogelijkheid een willekeurige macht van een getal uit te rekenen, met behulp van een toets waarop meestal x^y staat. Omdat

\sqrt[3]{x}= x^\frac13

kan hiermee de derdemachtswortel uit een getal worden uitgerekend. Zo is:

\sqrt[3]{27}= 27^\frac13=3.

Benaderen met de rekenmachine[bewerken]

Een interessante mogelijkheid is ook derdemachtswortels uit te rekenen met een iteratieve methode waarbij alleen de eenvoudige operaties en de worteltoets worden gebruikt. Daarvoor herleiden we de vergelijking

\!x^3 = c

via

\! x^4 = cx

tot

 x = \sqrt\sqrt{cx}.

Deze vergelijkling lossen we iteratief op door een gechikt getal x_0 als startwaarde te kiezen en dan steeds een volgende iteratie te berekenen met`;

 x_{n+1} = \sqrt\sqrt{cx_n}.

Voorbeeld:

\!x^3 = 100

We kiezen

\!x_0 = 5,

vermenigvuldigen met c=100 en berekenen:

x_1 = \sqrt\sqrt{500}=4{,}728708...

Zo gaan we verder, steeds het resultaat vermenigvuldigen met 100 en weer twee keer de wortel trekken:

x_2 = \sqrt\sqrt{472{,}8708...}= 4{,}663216...
x_3 = \sqrt\sqrt{466{,}3216...}= 4{,}646986...
x_2 = \sqrt\sqrt{464{,}6986...}= 4{,}642973...
x_4 = \sqrt\sqrt{464{,}2973...}= 4{,}641926...
x_5 = \sqrt\sqrt{464{,}1926...}= 4{,}641673...
x_6 = \sqrt\sqrt{464{,}1673...}= 4{,}641609...
x_6 = \sqrt\sqrt{464{,}1609...}= 4{,}641594...
x_7 = \sqrt\sqrt{464{,}1594...}= 4{,}641590...
x_8 = \sqrt\sqrt{464{,}1590...}= 4{,}641589...

We hebben nu vermoedelijk al het antwoord in 4 decimalen nauwkeurig gevonden, Willen we meer decimalen, dan moeten we verder gaan.

Tabel als hulpmiddel[bewerken]

De derdemachtsworteltabel is een hulpmiddel dat bij het rekenen gebruikt werd voordat er elektronische hulpmiddelen ter beschikking kwamen. Hiermee konden relatief snel wortels uitgerekend worden.

De tabel bestond uit een lijst "standaardwortels" van waarden met gelijke tussenstappen. Met behulp van deze tabellen en de rekenregels voor wortels konden dan weer andere wortels berekend worden. De tabellen werden afgedrukt in boekjes, samen met gelijkaardige tabellen voor de berekening van logaritmen en andere wiskundige berekeningen.

De hier bijgevoegde tabel van positieve derdemachtswortels met een precisie van 4 decimalen is samengesteld met behulp van de halveringsmethode.

Tabel[bewerken]

Grafiek van y=\sqrt[3]{x}
,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9
0 0,0000 0,4642 0,5848 0,6694 0,7368 0,7937 0,8434 0,8879 0,9283 0,9655
1 1,0000 1,0323 1,0627 1,0914 1,1187 1,1447 1,1696 1,1935 1,2164 1,2386
2 1,2599 1,2806 1,3006 1,3200 1,3389 1,3572 1,3751 1,3925 1,4095 1,4260
3 1,4422 1,4581 1,4736 1,4888 1,5037 1,5183 1,5326 1,5467 1,5605 1,5741
4 1,5874 1,6005 1,6134 1,6261 1,6386 1,6510 1,6631 1,6751 1,6869 1,6985
5 1,7100 1,7213 1,7325 1,7435 1,7544 1,7652 1,7758 1,7863 1,7967 1,8070
6 1,8171 1,8272 1,8371 1,8469 1,8566 1,8663 1,8758 1,8852 1,8945 1,9038
7 1,9129 1,9220 1,9310 1,9399 1,9487 1,9574 1,9661 1,9747 1,9832 1,9916
8 2,0000 2,0083 2,0165 2,0247 2,0328 2,0408 2,0488 2,0567 2,0646 2,0724
9 2,0801 2,0878 2,0954 2,1029 2,1105 2,1179 2,1253 2,1327 2,1400 2,1472
10 2,1544 2,1616 2,1687 2,1758 2,1828 2,1898 2,1967 2,2036 2,2104 2,2172

Zie ook[bewerken]