Halveringsmethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De halveringsmethode of bisectiemethode is een algoritme voor het oplossen van vergelijkingen. Het principe is heel eenvoudig en de methode is makkelijk op een computer te implementeren. De methode vertoont overeenkomsten met binair zoeken binnen een geordende rij gegevens.

Beschrijving van de methode[bewerken]

Eerst wordt een interval bepaald waarin een oplossing van de vergelijking ligt, noem dat [a, b], dat is stap 1.

Stap 2 houdt in dat wordt bepaald of de oplossing zich links of rechts van het midden van het interval bevindt. Bij de op 0 herleide vergelijking f(x) = 0 komt dat neer op het bepalen van f((a + b)/2).

Zoek dan verder in het deelinterval waar de oplossing in ligt.
Bij elke iteratie wordt de lengte van het interval waarin verder gezocht wordt de helft kleiner. De methode convergeert dus gegarandeerd. Een belangrijk nadeel is dat deze convergentie ook langzaam is.

Voorbeeld[bewerken]

Worteltrekken is geen elementaire operatie zoals optellen of vermenigvuldigen. In de praktijk moeten wortels altijd worden benaderd met een iteratief algoritme of een reeks. Een voorbeeld toont de benadering van met de halveringsmethode. (Opmerking: voor het benaderen van wortels zijn er efficiëntere methoden dan bisectie.)

Het berekenen van de derdemachtswortel wordt vertaald in het oplossen van de vergelijking

.

Duidelijk is dat , dus een eerste benadering is

.

Aangezien , ligt dus in de linkerhelft: . De procedure wordt nu herhaald en als tweede benadering krijgt men

.

Nu is , dus ligt in de rechterhelft: . Zo gaat men door:

.

Dan blijkt: . Dus wordt

.

Omdat voor de gezochte waarde geldt dat , zal voorlopig steeds in de linkerhelft van de komende intervallen liggen:

Nu duikt men onder , wat door berekening van de derde macht is vast te stellen, dus

.

Nu ligt de benadering er weer boven:

.

En zo gaan men door tot de gewenste nauwkeurigheid bereikt is.

Toepasbaarheid[bewerken]

Deze methode is eigenlijk alleen zinvol wanneer de methode van Newton of Regula Falsi niet te gebruiken zijn, bijvoorbeeld als er veel oplossingen dicht bij elkaar liggen, wat die methoden kan ontregelen, of wanneer de startwaarden te ver van de oplossing af liggen. Als de gewenste nauwkeurigheid niet al te groot is, kan de bisectiemethode ook sneller zijn omdat per stap minder rekenwerk nodig is.

Uit het bovenstaande voorbeeld leren we dat we de methode kunnen toepassen voor het oplossen van een vergelijking van de vorm , als we een interval [a, b] hebben waarin de/één oplossing ligt en alle functiewaarden links van de oplossing kleiner óf groter zijn dan alle functiewaarden rechts van de oplossing. Als f continu is op [a, b] en en (of andersom) is er volgens de tussenwaardestelling gegarandeerd ten minste één nulpunt.

Het algoritme in pseudocode[bewerken]

Stel eerst de te bereiken nauwkeurigheid vast.

Herleid de op te lossen vergelijking op 0 en zoek een interval [a, b] zo dat f(a) en (b) niet hetzelfde teken hebben.

Stap

Het midden van dit interval m is het gemiddelde van a en b: m = (a + b)/2. Bereken f(m).
Heeft f(m) hetzelfde teken als f(a), zoek dan verder in [m, b] (vervang a door m), zoek anders verder in [a, m] (vervang b door m)

Herhaal vanaf Stap tot de gewenste nauwkeurigheid bereikt is, dat wil zeggen b - a < . Een mogelijke implementatie in pseudo-code ziet er dan zo uit:


    const d = .... 
    var a, b, m;
    a, b ← A, B;
    
    ZOLANG (b - a) > d 
      m ← (a + b) / 2
      ALS f(m)*f(a) < 0
      DAN b ← m
      ANDERS a ← m
    HERHAAL  
    schatting ← (a + b) / 2

Zie ook[bewerken]