Regula falsi

Regula falsi, of de methode van regula falsi, is een numeriek algoritme om de nulpunten van een functie te bepalen. Het algoritme convergeert trager dan de Newton-Raphson-methode, maar is stabieler. De methode maakt gebruik van successieve iteraties van het gezochte punt en combineert eigenschappen van bisectie en de secant-methode.

Methode

Regula falsi begint met twee punten in de buurt van het nulpunt waarvan de functiewaarden tegengestelde tekens hebben, die dus onder en boven de x-as liggen. Het nulpunt bevindt zich dan ergens tussen deze twee punten. Vervolgens wordt het snijpunt met de x-as van de lijn die de punten op de grafiek van de functie bij de twee vorige punten met elkaar verbindt, bepaald. Uit het teken van de functiewaarde in dit snijpunt wordt bepaald in welk interval, gevormd door dit punt en een van de vorige, het nulpunt ligt. Zo wordt het interval waarin zich het nulpunt bevindt, successievelijk verkleind.

Definitie

Regula falsi berekent opeenvolgende benaderingen in de vorm van een interval $[a_{n},\,b_{n}]$ waarin een nulpunt van de functie $f$ ligt door de recursie:

$c_{n}=a_{n}-{\frac {a_{n}-b_{n}}{f(a_{n})-f(b_{n})}}f(a_{n})$

en (de ondergrens wordt opgeschoven)

$a_{n+1}=c_{n},\ b_{n+1}=b_{n}$ als $f(a_{n})f(c_{n})>0$

of (de bovengrens wordt teruggeschoven)

$a_{n+1}=a_{n},\ b_{n+1}=c_{n}$ als $f(b_{n})f(c_{n})>0$

Daarin zijn $a_{0}$ en $b_{0}$ twee te kiezen startwaarden, waarvoor geldt:

$f(a_{0})f(b_{0})<0$

Meetkundige interpretatie

Animatie van regula falsi

Gegeven een functie $f(x)$ en twee waarden $a$ en $b\ (a<b)$ voor $x$, zodat $f(a)f(b)<0$ (anders gezegd: de ene ligt boven de x-as, de andere eronder). Met een continue functie zal de functie $f$ in het interval $(a,b)$ nul worden. Dit nulpunt wordt benaderd door de punten $(a,f(a))$ en $(b,f(b))$ met een rechte lijn te verbinden en van die lijn het snijpunt $c$ met de x-as te bepalen, volgens:

$c=b-f(b){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}$

Dit snijpunt $c$ is een benadering voor het nulpunt. Deze benadering wordt gebruikt om itererend naar een oplossing te zoeken. Daarvoor is het teken nodig van $f(c)$ en een van de punten a en b, zodat $f(a)f(c)<0$ of $f(b)f(c)<0$ (beginvoorwaarde).

Externe links

• java-applet