Derdegraadsvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van een derdegraads-vergelijking met haar drie, in dit geval reële wortels, dat wil zeggen de snijpunten, waar de kromme de x-as (y = 0) kruist. Deze derdegraadsverge-lijking heeft 2 kritische punten.

Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking die herleid kan worden tot de vorm

\, ax^3+bx^2+cx+d=0

waar a ongelijk is aan nul. De a, b, c en d heten de constanten of de coëfficienten van de vergelijking, zij zijn in het algemeen geheel of reëel. De afgeleide van een derdegraadsvergelijking is een vierkantsvergelijking. De integraal van een derdegraadsvergelijking is een vierdegraadsvergelijking.

Elke derdegraadsvergelijking met gehele of reële coëfficiënten heeft minstens één reële oplossing.

Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen bleek veel ingewikkelder te zijn dan het oplossen van kwadratische vergelijkingen, waarvoor al in de oudheid een algemene oplossing gevonden is (al werd dan alleen naar positieve oplossingen gezocht). In de 16e-eeuw was de Italiaan Niccolo Fontana Tartaglia de eerste die een algemene formule vond voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking.

De formule van Cardano geeft een algemene oplossing voor de derdegraadsvergelijking. Als gevolg van de hoofdstelling van de algebra heeft iedere derdegraadsvergelijking drie oplossingen, waarbij samenvallende oplossingen zo vaak meetellen, als dat zij samenvallen. Twee van de drie oplossingen kunnen complex zijn. Alle drie worden zij door de formule van Cardano gegeven.

In een derdegraadsvergelijking is een polynoom van de derde graad gelijk aan 0. Per definitie zijn de wortels van de vergelijking de nulpunten van dit polynoom.

Voorbeelden[bewerken]

  1. Zoek een reëel getal x waarvoor x^3+1=0. De enige oplossing van dit probleem luidt x=-1
  2. Zoek een geheel getal x waarvoor x^3+x^2+x=0. De enige oplossing van dit probleem luidt x=0. Als we de voorwaarde "geheel" vervangen door "complex" zijn er nog twee andere oplossingen, namelijk x={-1+i\sqrt{3}\over2} en x={-1-i\sqrt{3}\over2}
  3. Zoek een reëel getal x waarvoor x^3+x^2+1=0. Deze vergelijking heeft precies één oplossing. Als we de voorwaarde "reëel" vervangen door "geheel", is er geen enkele oplossing.
  4. Zoek een reëel getal x waarvoor x3-9x=0. Deze vergelijking heeft drie verschillende oplossingen: x=-3, x=0 en x=+3. Dit blijkt rechtstreeks door te ontbinden in factoren
\, x^3-9x=x(x^2-9)=x(x+3)(x-3)
maar wordt ook aanschouwelijk door de grafiek van de derdegraadsvergelijking te bekijken. De nulpunten zijn de snijpunten van de grafiek met de X-as.
Grafiek van de veeltermfunctie f(x)=x3-9x. De reële nulpunten zijn de drie snijpunten met de X-as.

Aantal reële oplossingen[bewerken]

Het precieze aantal reële oplossingen van een derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten kan eenvoudig worden bepaald zonder de oplossingen zelf uit te rekenen. Elke derdegraadsvergelijking kan door een geschikte lineaire substitutie worden gereduceerd tot de algemene vorm z3+pz+q=0.

Deze derdegraadsvergelijking heeft twee samenvallende wortels als ze een gemeenschappelijk nulpunt heeft met haar eerste afgeleide, dat wil zeggen als er een reëel getal z bestaat dat voldoet aan

\, z^3+pz+q=0
\, 3z^2+p=0

Deze vergelijkingen bepalen een kromme in het (p,q)-vlak, geparametriseerd door z:

\, p=-3z^2
\, q=2z^3
Aantal reële nulpunten van z3+pz+q. Voor koppels (p,q) die precies op de groene kromme liggen, heeft het polynoom een nulpunt gemeen met zijn afgeleide, en bezit dus minstens één meervoudig nulpunt. Buiten de groene kromme zijn alle nulpunten enkelvoudig. Links van de kromme (blauw gebied) zijn er drie verschillende reële nulpunten. Rechts van de kromme (geel gebied) is er precies één reëel nulpunt.

Deze kromme is doornvormig met een singulier punt in z=0. Ze verdeelt het vlak in twee gebieden. Uit eliminatie van de parameter volgt

\, 4p^3+27q^2=0

De grootheid 4p3+27q2 heet de discriminant van de vergelijking. Als de discriminant positief is, dan heeft de vergelijking precies één reële wortel. Is de discriminant negatief, dan zijn er precies drie verschillende reële wortels.

Algemene oplossing[bewerken]

De volgende oplossing is afkomstig van Niccolo Fontana Tartaglia. We werken opnieuw met de gereduceerde vorm z3+pz+q=0. Als p=0 of q=0, dan is de oplossing triviaal. Als p\neq0 schrijven we de onbekende z als som van twee nieuwe onbekenden:

\, z=u+v,

en de vergelijking herleidt zich tot

\, u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0.

Men vindt een oplossing door afzonderlijk

\, u^3+v^3+q=0

en

\, 3uv+p=0

te stellen. (Het laatste mag omdat u en v afhankelijk zijn.) De tweede vergelijking herschrijven we als

\, u=-p/3v

(dit mag, want v=u=0 is toch geen oplossing) en we substitueren haar in de eerste vergelijking

\, v^3

oplevert:

\, (v^3)^2+q.v^3-p^3/27=0

Niet toevallig is de discriminant van deze kwadratische vergelijking, op een numerieke constante na, gelijk aan de discriminant van de derdegraadsvergelijking.

De algemene oplossing van de kwadratische vergelijking leidt nu tot de oplossing van de derdegraadsvergelijking:

\, v=\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{q^2/4+p^3/27}},\ z=v-{p\over3v}

Casus irreducibilis[bewerken]

Als de discriminant positief is, dan staat onder het derdemachtswortelteken in de algemene oplossing een reëel getal. De unieke reële derdemachtswortel van dit getal levert een welbepaalde v en dus een welbepaalde reële oplossing z op.

Er ontstaat een probleem wanneer de vergelijking drie verschillende reële wortels heeft (het irreducibele geval, ook bekend onder de Latijnse naam casus irreducibilis), omdat de discriminant van de hiervoor afgeleide kwadratische vergelijking dan negatief is. Dat betekent dat we de oplossing van Tartaglia weliswaar in gesloten vorm kunnen opschrijven, echter door gebruik te maken van berekeningen met complexe getallen. Historisch zijn de complexe getallen op die manier vanuit de derdegraadsvergelijking ingevoerd door Rafael Bombelli.

In dat geval biedt de door Viète bedachte trigonometrische methode een alternatief. Daarbij substitueert men:

\, x = r\ \cos (t)

en kiest r zo, dat gebruikgemaakt kan worden van de identiteit

\, 4\cos^3(t) - 3\cos(t) = \cos (3t).

Dan blijft een vergelijking in de vorm cos(3t) = c over, en die is eenvoudig op te lossen.

Numerieke oplossing[bewerken]

Voor het berekenen van een reële oplossing met een computer kunnen ook iteratieve methoden gebruikt worden. Van de vergelijking

x^3 + a x^2 + bx + c = 0\,

kan in bepaalde gevallen één reële wortel bepaald worden, met de volgende recurrente betrekking:

x_n= -\left(a x_{n-1} + bx_{n-2} + cx_{n-3}\right)

Na keuze van de startwaarden, bijvoorbeeld:

x_0=1,\  x_1=2,\  x_2=4\,

wordt voor n = 3 de volgende term bepaald:

x_n= -\left(a x_{n-1} + bx_{n-2} + cx_{n-3}\right)

Als het quotiënt

x_n/x_{n-1}\,

een limiet lijkt te naderen, is daarmee een oplossing gevonden. Anders wordt een volgende stap genomen, nadat de termen zijn doorgeschoven:

x_{n-3}=x_{n-2},\  x_{n-2}=x_{n-1},\  x_{n-1}=x_n\,