Derdegraadsvergelijking

Grafiek van een derdegraads-vergelijking met haar drie, in dit geval reële wortels, dat wil zeggen de snijpunten, waar de kromme de $x$-as kruist. Deze derdegraadsverge-lijking heeft 2 kritische punten.

Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking die herleid kan worden tot de vorm

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

waarin $a$ ongelijk is aan nul. De getallen $a,b,c$ en $d$ heten de constanten of de coëfficiënten van de vergelijking; zij zijn in het algemeen geheel of reëel.

Iedere derdegraadsvergelijking met gehele of reële coëfficiënten heeft minstens één reële oplossing.

Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen bleek veel ingewikkelder te zijn dan het oplossen van vierkantsvergelijkingen, waarvoor al in de oudheid een algemene oplossing is gevonden, al werd toen alleen naar positieve oplossingen gezocht. In de 16e-eeuw was de Italiaan Niccolò Tartaglia de eerste die een algemene formule vond voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking.

De formule van Cardano geeft een algemene oplossing voor de derdegraadsvergelijking. Als gevolg van de hoofdstelling van de algebra heeft iedere derdegraadsvergelijking drie oplossingen, waarbij samenvallende oplossingen zo vaak meetellen, als dat zij samenvallen. Twee van de drie oplossingen kunnen complex zijn. Alle drie worden zij door de formule van Cardano gegeven.

Een derdegraadsvergelijking stelt een polynoom van de derde graad gelijk aan 0. De wortels van de vergelijking zijn de nulpunten van deze polynoom.

Voorbeelden

1. Zoek een reëel getal $x$ waarvoor $x^{3}+1=0$. De enige oplossing van dit probleem luidt $x=-1$
2. Zoek een geheel getal $x$ waarvoor $x^{3}+x^{2}+x=0$. De enige oplossing van dit probleem luidt $x=0$. Als we de voorwaarde "geheel" vervangen door "complex" zijn er nog twee andere oplossingen, namelijk $x={-1+i{\sqrt {3}} \over 2}$ en $x={-1-i{\sqrt {3}} \over 2}$
3. Zoek een reëel getal $x$ waarvoor $x^{3}+x^{2}+1=0$. Deze vergelijking heeft precies één oplossing. Als we de voorwaarde "reëel" vervangen door "geheel", is er geen enkele oplossing.
4. Zoek een reëel getal $x$ waarvoor $x^{3}-9x=0$. Deze vergelijking heeft drie verschillende oplossingen: $x=-3,x=0$ en $x=3$. Dit blijkt rechtstreeks door te ontbinden in factoren
   $x^{3}-9x=x(x^{2}-9)=x(x+3)(x-3)$, maar wordt ook aanschouwelijk door de grafiek van de derdegraadsvergelijking te bekijken. De nulpunten zijn de snijpunten van de grafiek met de $x$-as.

Grafiek van de veeltermfunctie $f(x)=x^{3}-9x$. De reële nulpunten zijn de drie snijpunten met de $x$-as.

Aantal reële oplossingen

Een derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten heeft altijd minstens één reële oplossing. Het precieze aantal reële oplossingen kan eenvoudig worden bepaald zonder de oplossingen zelf uit te rekenen. Elke derdegraadsvergelijking kan door een geschikte lineaire substitutie worden gereduceerd tot de gereduceerde vorm $z^{3}+pz+q=0$.

Deze derdegraadsvergelijking heeft twee samenvallende wortels als ze een gemeenschappelijk nulpunt heeft met haar eerste afgeleide, dat wil zeggen als er een reëel getal $z$ bestaat dat voldoet aan

$z^{3}+pz+q=0$

$3z^{2}+p=0$

Deze vergelijkingen bepalen een kromme in het $(p,q)$-vlak, geparametriseerd door $z$:

$p=-3z^{2}$

$q=2z^{3}$

Aantal reële nulpunten van $z^{3}+pz+q=0$, Voor koppels $(p,q)$ die precies op de groene kromme liggen, heeft het polynoom een nulpunt gemeen met zijn afgeleide, en bezit dus minstens één meervoudig nulpunt. Buiten de groene kromme zijn alle nulpunten enkelvoudig. Links van de kromme (blauw gebied) zijn er drie verschillende reële nulpunten. Rechts van de kromme (geel gebied) is er precies één reëel nulpunt.

Deze kromme is doornvormig met een singulier punt in $z=0$. Ze verdeelt het vlak in twee gebieden. Uit eliminatie van de parameter volgt

$4p^{3}+27q^{2}=0$

De grootheid $4p^{3}+27q^{2}$ heet de discriminant van de vergelijking. Als de discriminant positief is, dan heeft de vergelijking precies één reële wortel. Is de discriminant negatief, dan zijn er precies drie verschillende reële wortels.

Algemene oplossing

De door Gerolamo Cardano gepubliceerde oplossingsmethode, afkomstig van Niccolò Tartaglia, geeft een formule voor de oplossingen van de gereduceerde vorm:

$z^{3}+Pz+Q=0$

of, zonder verlies van algemeenheid:

$z^{3}+3pz-2q=0$

De 3 oplossingen hebben de vorm:

$z_{1}=u+v$

$z_{2}=ue_{1}+ve_{2}$

$z_{3}=ue_{2}+ve_{1}$

waarin:

$u={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}},\quad v={\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}$

en

$e_{1}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3}},\quad e_{2}={\overline {e_{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3}}$

de beide derdemachtseenheidswortels zijn.

Het gedrag van de oplossingen is afhankelijk van het teken van de discriminant

$D=q^{2}+p^{3}$

Geval 1

$D=0;p=q=0$

De enige drievoudige oplossing is $z=0$.

Geval 2

$D=0;p,q\neq 0$

Omdat $D=0$ is $u=v$. Er zijn 2 verschillende reële oplossingen; een enkelvoudige $z_{1}=2u$ en een tweevoudige $z_{2}=-u$.

Geval 3

$D>0$

Er is één reële oplossing $z_{1}=u+v$ en twee complex geconjugeerde oplossingen: $z_{2,3}=-{\tfrac {1}{2}}(u+v)\pm {\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3}}(u-v)$.

Geval 4

$D<0$, de zogeheten 'casus irreducibilis'

Er zijn 3 verschillende reële oplossingen.

Casus irreducibilis

Als de discriminant negatief is, ontstaat er een probleem. Dit heet het irreducibele geval, ook bekend onder de Latijnse naam casus irreducibilis. Er zijn dan weliswaar 3 reële oplossingen, die volgens de methode van Tartaglia in gesloten vorm geschreven kunnen worden, maar alleen door gebruik te maken van de complexe getallen. Historisch zijn de complexe getallen op die manier vanuit de derdegraadsvergelijking door Rafael Bombelli ingevoerd.

In dat geval biedt de door Viète bedachte goniometrische methode een alternatief. Daarbij substitueert men:

$z=r\,\cos(t)$

zodat:

$r^{3}\cos ^{3}(t)+3pr\cos(t)-2q=0$

en maakt men gebruik van de identiteit:

$4\cos ^{3}(t)-3\cos(t)=\cos(3t)$

waardoor de vergelijking overgaat in:

${\tfrac {1}{4}}r^{3}(\cos(3t)+3\cos(t))+3pr\cos(t)-2q=0$

of:

$r^{3}\cos(3t)+(3r^{3}+12pr)\cos(t)-8q=0$

Door de keuze $r=2{\sqrt {-p}}$, dus

$r^{2}+4p=0$

valt de term met $\cos(t)$ weg en ontstaat:

${\big (}{\sqrt {-p}}{\big )}^{3}\cos(3t)-q=0$

een vergelijking die eenvoudig is op te lossen.

Numerieke oplossing

Voor het berekenen van een reële oplossing met een computer kunnen ook iteratieve methoden gebruikt worden. Van de vergelijking

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

kan in bepaalde gevallen één reële wortel bepaald worden, met de volgende recurrente betrekking:

$x_{n}=-\left(ax_{n-1}+bx_{n-2}+cx_{n-3}\right)$

Na keuze van de startwaarden, bijvoorbeeld:

$x_{0}=1,\ x_{1}=2,\ x_{2}=4$

wordt voor $n=3$ de volgende term bepaald:

$x_{n}=-\left(ax_{n-1}+bx_{n-2}+cx_{n-3}\right)$

Als het quotiënt

$x_{n}/x_{n-1}$

een limiet lijkt te naderen, is daarmee een oplossing gevonden. Anders wordt een volgende stap genomen, nadat de termen zijn doorgeschoven:

$x_{n-3}=x_{n-2},\ x_{n-2}=x_{n-1},\ x_{n-1}=x_{n}$