Formule van Cardano

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De formule van Cardano is de wiskundige formule voor de oplossing van de gereduceerde vorm van een derdegraadsvergelijking. De formule werd voor het eerst in 1545 vermeld in het boek Ars magna van Girolamo Cardano (1501-1576), een Italiaanse arts, wiskundige, filosoof en publicist. De formule is ontdekt door Niccolò Tartaglia, en volgens Cardano zelfs nog vóór deze door Scipione del Ferro. Van de hand van Cardano is de methode om de algemene vorm van de derdegraadsvergelijking te reduceren tot het speciale geval waarop de formule voor de oplossing kan worden toegepast.

Formule[bewerken]

Voor de gereduceerde derdegraadsvergelijking:

luidt de formule van Cardano voor de oplossing:

Herleiding algemene geval[bewerken]

De algemene (genormeerde) vorm van de derdegraadsvergelijking:

kan geschreven worden als:

,

dus in de eerder genoemde gereduceerde vorm:

met:

, en


Afleiding[bewerken]

Zonder verlies van algemeenheid kan de gereduceerde vorm geschreven worden als:

Dan heeft de formule voor de oplossing de overzichtelijker vorm:

Hier is ook gemakkelijk te zien, dat:

dus:

De 3 oplossingen worden verkregen door de substitutie onder de nevenvoorwaarde . Dan volgt:

Voor en geldt dus en .

Volgens een formule van Viète zijn dan en oplossingen van de vergelijking:

,

dus:

  en  .

Met en voldoen ook de paren:

en ,

waarin

de beide derdemachts-eenheidswortels zijn.

Zie ook[bewerken]