Discriminant
In de algebra is de discriminant (Latijn: discriminare, onderscheiden) van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft.
De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen.
Vierkantsvergelijking
[bewerken | brontekst bewerken]De algemene vorm van een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten en is:
De discriminant is in dit geval het getal:
waarin de (complexe) wortels zijn.
De waarde van zegt iets over de oplossingsverzameling van de vergelijking:
- Als is, zijn er twee verschillende reële oplossingen en (fig.: geval A).
- Als , zijn er twee gelijke reële oplossingen (fig.: geval B).
- Als is, zijn er geen reële oplossingen van de vergelijking (fig.: geval C), er zijn wel twee geconjugeerde complexe oplossingen.
Voorbeelden
[bewerken | brontekst bewerken]Geval A: D > 0
[bewerken | brontekst bewerken]Beschouw de volgende vergelijking:
Dit is een vierkantsvergelijking met en De discriminant is dus:
De bovenstaande vergelijking heeft dus twee oplossingen, en wel en Deze kunnen worden gevonden met de wortelformule.
Geval B: D = 0
[bewerken | brontekst bewerken]Beschouw nu de vierkantsvergelijking:
Nu is en en . Er volgt dat De vergelijking heeft dus één (meervoudige) reële oplossing, namelijk
Geval C: D < 0
[bewerken | brontekst bewerken]Beschouw ten slotte de vergelijking:
Dan geldt en Er volgt dat De vergelijking heeft dus geen reële oplossingen. De vergelijking kan wel complex opgelost worden:
Derdegraadsvergelijking
[bewerken | brontekst bewerken]De algemene derdegraadsvergelijking in canonieke vorm is:
De discriminant hiervan is het getal:
Als de discriminant van een dergelijke vergelijking met reële coëfficiënten strikt negatief is, heeft de vergelijking precies één reële wortel. Als de discriminant strikt positief is, precies drie verschillende reële wortels. De waarde nul komt overeen met twee samenvallende wortels, het aantal verschillende wortels is dan een of twee.
Voorbeelden
[bewerken | brontekst bewerken]De volgende vergelijkingen hebben precies één reële wortel. Hun discriminanten bedragen respectievelijk en
De eerste vergelijking heeft een unieke irrationale reële wortel tussen en de tweede vergelijking heeft als enige reële wortel
De volgende vergelijkingen hebben precies drie reële wortels. Bij de eerste vergelijking zijn het de gehele getallen en bij de tweede vergelijking gaat het om irrationale wortels.
Algemene vorm
[bewerken | brontekst bewerken]Voor de algemene vorm:
is de discriminant:
Daarin zijn en de complexe wortels.