Jones-veelterm

Type I Reidemeister-beweging.

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

$t^{1/2}$

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets

Stel wij hebben een georiënteerde schakel $L$, die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, $V(L)$ definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met $\langle ~\rangle$. Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele $A$ is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)

$X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle$,

waar $w(L)$ de kronkeling van $L$ in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ($L_{+}$ in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen ($L_{-}$). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop $\gamma$ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep $\mathrm {SU} (2)$ te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop $W_{F}(\gamma )$ te berekenen, geassocieerd met $\gamma$, en de fundamentele representatie $F$ van $\mathrm {SU} (2)$.

Bronnen

• (en) Vaughan Jones, Universiteit van Californië - Berkeley, "The Jones Polynomial" (pdf), 18 augustus 2005.
• (en) MathWorld, Jones Polynomial.
• (en) Morwen Thistlethwaite, Universiteit van Tennessee, "Links with trivial Jones Polynomial" (pdf). Gearchiveerd op 27 september 2011.