Jones-veelterm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets[bewerken]

Stel wij hebben een georiënteerde schakel , die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met . Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)

,

waar de kronkeling van in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ( in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen (). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie[bewerken]

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop γ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep SU(2) te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop WF(γ) te berekenen, geassocieerd met γ, en de fundamentele representatie F van SU(2).

Bronnen[bewerken]