Karakteristieke polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra kan voor elke vierkante matrix de bijbehorende karakteristieke polynoom gedefinieerd worden. Deze polynoom bevat enkele specifieke kenmerken van de matrix, zoals het spoor en de determinant van de matrix. Deze polynoom vindt vooral toepassing bij het bepalen van de eigenwaarden.

Definitie[bewerken]

Voor een n×n-matrix A is de karakteristieke polynoom , gedefinieerd door:

Hierin staat 'det' voor de determinant en voor de n×n-eenheidsmatrix. Het is dus de determinant van de matrix die ontstaat nadat van van elk van de elementen op de hoofddiagonaal van het getal is afgetrokken. Zie ook het voorbeeld verderop in dit artikel.

Stelt men de karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de karakteristieke vergelijking:

Dit is een veeltermvergelijking van graad in de onbekende waarvan de oplossingen de eigenwaarden van zijn.

Eigenschappen[bewerken]

In de eigenschappen hieronder is een n×n-matrix met karakteristieke polynoom .

  • De nulpunten van zijn de eigenwaarden van .
  • De constante term in is de determinant van .
  • De coëfficiënt van is het spoor van , op het teken na indien even is.

De laatste twee eigenschappen laten toe voor een 2×2-matrix te schrijven als:

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de volgende 2×2-matrix :

De karakteristieke polynoom is:

Uit de karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant (2) en het spoor (3) volgens de eerder gegeven eigenschappen.

De eigenwaarden zijn de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:

De eigenwaarden van zijn dus 1 en 2.

voldoet aan de karakteristieke vergelijking, want: