Stelling van Cayley-Hamilton

De stelling van Cayley-Hamilton is een stelling in de lineaire algebra die stelt dat elke vierkante reële of complexe matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Arthur Cayley en William Hamilton.

Stelling

Elke vierkante reële of complexe $n\times n$-matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking:

$p_{A}(A)=0$,

waarin $p_{A}$ de karakteristieke polynoom van $A$ is, gedefinieerd als

$p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$

Machten van $A$ worden gedefinieerd als herhaalde matrixvermenigvuldiging en de constante term als veelvoud van de eenheidsmatrix. De 0 in de uitdrukking is de nulmatrix.

Voorbeeld

Van de matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

is de karakteristieke polynoom gegeven door

$p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{2}-A)=\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

"Substitutie" van $A$ voor $\lambda$ geeft

$p_{A}(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$