Hermite-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De eerste zes Hermite-polynomen:
H0(x) = 1
H1(x) = x
H2(x) = x2 - 1
H3(x) = x3 - 3x
H4(x) = x4 - 6x2 + 3
H5(x) = x5 - 10x3 + 15x

In de wiskunde zijn de Hermite-polynomen, genoemd naar Charles Hermite, de polynomen die de oplossing vormen van de differentiaalvergelijking van Hermite:

H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,\!

Daarin is n de orde van de vergelijking, een natuurlijk getal.

Deze differentiaalvergelijking vindt toepassing in de kansrekening.

Er is ook een alternatieve vorm, die meer gebruikelijk is in de natuurkunde. Deze vorm zal hieronder apart worden besproken.

De bijbehorende Hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}

De Hermite polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de Laguerre-polynomen.

Recursie[bewerken]

De Hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x),\,\!

Zij voldoen ook aan:

H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,\!

Orthogonaliteit[bewerken]

De Hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx,

dus met gewichtsfunctie:

e^{-x^2/2}\,,

op een factor na de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling.

Er geldt:

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}

waarin δnm de Kronecker-delta is, dus gelijk aan 1 als n = m en anders 0.

Alternatieve vorm[bewerken]

De alternatieve vorm van de differentiaalvergelijking van Hermite is:

H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0.\,\!

De bijbehorende Hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

Deze tweede definitie is niet geheel equivalent met de eerste.

De eerste 6 hermite-polynomen zijn:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=2x\,
H_2(x)=4x^2-2\,
H_3(x)=8x^3-12x\,
H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,

Recursie[bewerken]

De Hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,

Zij voldoen ook aan:

H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,

Orthogonaliteit[bewerken]

De Hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2}\,dx,

dus met gewichtsfunctie:

e^{-x^2}\,.

Er geldt:

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{nm}

waarin δnm de Kronecker-delta is, dus gelijk aan 1 als n = m en anders 0.

Zie ook[bewerken]