Hermite-polynoom

De eerste zes hermite-polynomen

In de wiskunde zijn de hermite-polynomen, genoemd naar Charles Hermite, de polynomen die de oplossing vormen van de differentiaalvergelijking van Hermite.

Differentiaalvergelijking

De differentiaalvergelijking van Hermite is:

$H_{n}''(x)-xH_{n}'(x)+nH_{n}(x)=0$.

Daarin is $n$ de orde van de vergelijking, een natuurlijk getal.

Deze differentiaalvergelijking vindt toepassing in de kansrekening.

Er is ook een alternatieve vorm, die meer gebruikelijk is in de natuurkunde. Deze vorm zal hieronder apart worden besproken.

De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}/2}$

De hermite-polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de laguerre-polynomen.

Recursie

De hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

$H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)$,

Zij voldoen ook aan:

$H_{n}'(x)=nH_{n-1}(x)$,

Orthogonaliteit

De hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,e^{-x^{2}/2}\,{\rm {d}}x$,

dus met gewichtsfunctie:

$e^{-x^{2}/2}$,

op een factor na de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling.

Er geldt:

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,{\rm {d}}x=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{nm}$

waarin $\delta _{nm}$ de kronecker-delta is, dus gelijk aan 1 als $n=m$ en anders 0.

Alternatieve vorm

De alternatieve vorm van de differentiaalvergelijking van Hermite is:

$H_{n}''(x)-2xH_{n}'(x)+2nH_{n}(x)=0$.

De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}$

Deze tweede definitie is niet geheel equivalent met de eerste.

De eerste 6 hermite-polynomen zijn:

$H_{0}(x)=1$

$H_{1}(x)=2x$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$

$H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x$

Recursie

De hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).$

Zij voldoen ook aan:

$H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x),$

Orthogonaliteit

De hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x$,

dus met gewichtsfunctie:

$e^{-x^{2}}$.

Er geldt:

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{nm}$