Jacobi-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedachte polynoom dat een uitbreiding betekent van de Legendre-polynoom.

Een Jacobi-polynoom

of met de hypergeometrische functie 2F1

is orthonormaal bij integratie van a tot b met gewichtsfunctie:

w(x) = (x - a)^alfa (b - x)^beta

De waarde voor z=1 is

.

Zij hebben de symmetrierelatie

waaruit de waarde voor z=-1 wordt gegeven:


Dit betekent dus, dat

integraal van a tot b w(x) Pn(alfa,beta) (x) Pm(alfa,beta) (x) dx = delta(n,m)

Waarbij delta(n,m) de Kronecker-delta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix. We zien dus, dat een Legendre polynoom Pn (x) een bijzonder geval is van de Jacobi-polynoom:

Pn (x) = Pn(0,0) (x)