Jacobi-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedacht polynoom dat een uitbreiding betekent van het Legendre-polynoom.

Een Jacobi-polynoom


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m,

of met de hypergeometrische functie 2F1


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
 {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right).

is orthonormaal bij integratie van a tot b met gewichtsfunctie:

w(x) = (x - a)^alfa (b - x)^beta

De waarde voor z=1 is

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Zij hebben de symmetrierelatie

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z)\,

waaruit de waarde voor z=-1 wordt gegeven:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .


Dit betekent dus, dat

integraal van a tot b w(x) Pn(alfa,beta) (x) Pm(alfa,beta) (x) dx = delta(n,m)

Waarbij delta(n,m) de Kronecker-delta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix. We zien dus, dat een Legendre polynoom Pn (x) een bijzonder geval is van het Jacobi-polynoom:

Pn (x) = Pn(0,0) (x)