Chebyshev-polynoom

De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$

voor $n=0,1,2,3,\ldots ,$

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

$(1-x^{2}){{\rm {d}}^{2}y \over {\rm {d}}x^{2}}-x{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}+n^{2}y=0,$

die overigens door de substitutie

${\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta )),$

vereenvoudigt tot:

${\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0$,

waaruit eenvoudig te zien is dat

${\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta ))$

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x$

Recursie

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$ voor $n\geq 1$.

Graad

Dat $\cos(nx)$ een polynoom van graad $n$ is in $\cos(x)$ volgt uit de formule van De Moivre:

$\cos(nx)=\Re (\cos(x)+i\ \sin(x))^{n}$

De termen daarin met $\sin(x)$ hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

$\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$

Orthogonaliteit

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$,

op het interval [-1,1], d.w.z. dat

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m.$

Dit is het gevolg van de relatie (neem $x=\cos(\theta )$)

$\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,{\rm {d}}\theta =0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m.$

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook

• Hermite-polynoom
• Laguerre-polynoom
• Lagrange-polynoom
• Wilkinson-polynoom