Chebyshev-polynoom

De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\!$

voor n = 0, 1, 2, 3, .... .

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

$(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x\cdot {dy \over dx}+n^{2}\cdot y=0$,

die overigens door de substitutie

${\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta ))\,$,

vereenvoudigt tot:

${\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0\,$,

waaruit eenvoudig te zien is dat

${\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta ))\,$

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\,$

Recursie

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

$T_{0}(x)=1\,\!$

$T_{1}(x)=x\,\!$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\,$ voor $n\geq 1\,$.

Graad

Dat cos(nx) een polynoom van graad n is in cos(x) kan worden ingezien door op te merken dat volgens de formule van De Moivre:

$\cos(nx)=\Re (\cos(x)+i\ \sin(x))^{n}$

De termen daarin met sin(x) hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

$\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)\,$

Orthogonaliteit

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

op het interval [−1,1], i.e., we krijgen

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m.$

Dit geldt omdat (neem x = cos θ)

$\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,d\theta =0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m.$

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook

• Hermite-polynoom
• Laguerre-polynoom
• Lagrange-polynoom
• Wilkinson-polynoom