Chebyshev-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

voor n = 0, 1, 2, 3, .... .

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

,

die overigens door de substitutie

,

vereenvoudigt tot:

,

waaruit eenvoudig te zien is dat

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

Recursie[bewerken]

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

voor .

Graad[bewerken]

Dat cos(nx) een polynoom van graad n is in cos(x) kan worden ingezien door op te merken dat volgens de formule van De Moivre:

De termen daarin met sin(x) hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

Orthogonaliteit[bewerken]

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

op het interval [−1,1], i.e., we krijgen

Dit geldt omdat (neem x = cos θ)

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook[bewerken]