Chebyshev-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search
De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

voor

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

die overigens door de substitutie

vereenvoudigt tot:

,

waaruit eenvoudig te zien is dat

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

Recursie[bewerken]

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

voor .

Graad[bewerken]

Dat een polynoom van graad is in volgt uit de formule van De Moivre:

De termen daarin met hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

Orthogonaliteit[bewerken]

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

,

op het interval [-1,1], d.w.z. dat

Dit is het gevolg van de relatie (neem )

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook[bewerken]