Driehoeksgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De eerste zes driehoeksgetallen

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door het aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek, die gelijkmatig met stippen wordt gevuld. Aangezien bijvoorbeeld drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is drie dus een driehoeksgetal.

Het -de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek met stippen aan één zijde. Drie is dus het tweede driehoeksgetal. De eerste zeven driehoeksgetallen zijn de niet-negatieve gehele getallen 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21.[1] In het plaatje worden deze (behalve 0) weergegeven.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Het -de driehoeksgetal is de som van de getallen 1 tot en met . In formule:

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

Dit is hetzelfde als de binomiaalcoëfficiënt

Toelichting[bewerken | brontekst bewerken]

De binomiaalcoëfficiënt is het aantal combinaties van 2 elementen uit een totaal van . Die combinaties kunnen als volgt onderverdeeld worden:

  • Element 1 van de elementen wordt gekozen. Voor het tweede element zijn er nog mogelijkheden.
  • Element 1 wordt niet gekozen, maar wel element 2. In dat geval zijn er voor het tweede element nog mogelijkheden.
  • De elementen 1 en 2 worden niet gekozen, maar wel element 3. Dan zijn er voor het tweede element nog mogelijkheden.
  • Zo voortgaande is te zien dat het totale aantal combinaties gelijk is aan

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

De som van alle reciproque driehoeksgetallen is

Dit volgt uit de zogrenaamde telescoopreeks

  • Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers, 1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
  • Een getal is een driehoeksgetal dan en slechts dan als een kwadraat is.
  • Het -de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met knopen.
  • De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld .
  • De som van de eerste driehoeksgetallen is gelijk aan het -de tetraëdergetal.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.