Veelhoeksgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een veelhoeksgetal is een getal dat het aantal stippen is van een figuur met in een hoekpunt geneste regelmatige veelhoeken. In de oudheid ontdekte men dat getallen waren weer te geven door een aantal figuurtjes zoals rijstkorrels of zaden te rangschikken in een figuur, dit noemt men figuratieve getallen. De veelhoeksgetallen zijn daar een voorbeeld van. De bekendste soorten veelhoeksgetallen zijn de driehoeksgetallen en kwadraatgetallen.

Voor een groter aantal hoeken moet men bedenken dat de veelhoeken één gezamenlijk hoekpunt hebben en dat vanuit dat hoekpunt de zijden in dezelfde richting samenvallen. Veelhoeksgetallen met in een hoekpunt geneste veelhoeken en gecentreerde veelhoeksgetallen voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Het is daarom zinvol verschil tussen kwadraat en kwadraatgetal te maken.

De volgende figuur is een voorbeeld van zeshoeksgetallen:

1          6          15          28
* **
* *
**
***

** *
* * *
** *
***

****

*** *
** * *
* * * *
** * *
*** *
****

Als het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het e -hoeksgetal gegeven door

Elk veelhoeksgetal is ook uit te drukken in de driehoeksgetallen , namelijk

Een tabel met de eerste veelhoeksgetallen is:

Naam Formule n OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8
driehoeksgetal 1 3 6 10 15 21 28 36 rij A000217 in OEIS
kwadraat 1 4 9 16 25 36 49 64 rij A000290 in OEIS
vijfhoeksgetal 1 5 12 22 35 51 70 92 rij A000326 in OEIS
zeshoeksgetal 1 6 15 28 45 66 91 120 rij A000384 in OEIS
heptagonaal getal 1 7 18 34 55 81 112 148 rij A000566 in OEIS
achthoeksgetal 1 8 21 40 65 96 133 176 rij A000567 in OEIS
negenhoeksgetal 1 9 24 46 75 111 154 204 rij A001106 in OEIS
10-hoeksgetal 1 10 27 52 85 126 175 232 rij A001107 in OEIS
11-hoeksgetal 1 11 30 58 95 141 196 260 rij A051682 in OEIS
12-hoeksgetal 1 12 33 64 105 156 217 288 rij A051624 in OEIS

Veelhoeksgetallen en gecentreerde veelhoeksgetallen[bewerken]

Er is een verschil tussen de veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt en gecentreerde veelhoeksgetallen. De gelijkvormige veelhoeken, steeds met een zijde één groter, die een veelhoeksgetal samenstellen, hebben één gezamenlijk hoekpunt. Alle veelhoeken hierin met zijden van minimaal één delen bovendien voor een deel de beide zijden, die aan dit hoekpunt liggen.

De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.

Als het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde e -hoeksgetal gegeven door

De gecentreerde achthoeksgetallen zijn de oneven getallen in het kwadraat, dus de oneven kwadraten. Alle even perfecte getallen groter dan 6 zijn een gecentreerd negenhoeksgetal.

Een tabel met de eerste gecentreerde veelhoeksgetallen is:

Naam Formule n OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8
gecentreerd driehoeksgetal 1 4 10 19 31 46 64 85 rij A005448 in OEIS
gecentreerd vierhoeksgetal 1 5 13 25 41 61 85 113 rij A001844 in OEIS
gecentreerd vijfhoeksgetal 1 6 16 31 51 76 106 141 rij A005891 in OEIS
gecentreerd zeshoeksgetal 1 7 19 37 61 91 127 169 rij A003215 in OEIS
gecentreerd zevenhoeksgetal 1 8 22 43 71 106 148 197 rij A069099 in OEIS
gecentreerd achthoeksgetal 1 9 25 49 81 121 169 225 rij A016754 in OEIS
gecentreerd negenhoeksgetal 1 10 28 55 91 136 190 253 rij A060544 in OEIS
gecentreerd 10-hoeksgetal 1 11 31 61 101 151 211 281 rij A062786 in OEIS
gecentreerd 11-hoeksgetal 1 12 34 67 111 166 232 309 rij A069125 in OEIS
gecentreerd 12-hoeksgetal 1 13 37 73 121 181 253 337 rij A003154 in OEIS

Externe links[bewerken]