Heptagonaal getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De eerste vijf heptagonale getallen

Een heptagonaal getal is een veelhoeksgetal met een regelmatige zevenhoek als basisfiguur. Het is dus het aantal bolletjes dat zich tot in elkaar grijpende regelmatige zevenhoeken laat rangschikken. Het kleinste heptagonale getal is 0. Daarbij kunnen 6 bolletjes geplaatst worden om het volgende heptagonale getal 7 te krijgen. Voor de volgende zevenhoek zijn 5 nieuwe zijden nodig. De andere 2 zijden zijn steeds gemeenschappelijk. Er zijn 5×2+1=11 nieuwe bolletjes nodig, zodat het derde heptagonale getal 7+11=18 is. Dit gaat zo door, en leidt tot de recurrente betrekking:

voor en met .

Een veelhoek kan ook opgebouwd gedacht worden uit de vorige vanuit het gemeenschappelijke hoekpunt. Dan zijn 5 nieuwe zijden nodig met bolletjes waarvan 4 dubbel geteld zijn: de 4 hoekpunten waar 2 nieuwe zijden bij elkaar komen. Dat geeft de volgende recurrente betrekking:

Deze is equivalent met de betrekking als boven, wat te verifiëren is door uitgaande van de onderste betrekking uit te schrijven.

Uit de recurrente betrekking volgt de algemene formule voor het -de heptagonale getal:

De eerste heptagonale getallen zijn:

0, 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059, 2205, 2356, 2512, 2673, 2839, 3010, 3186, 3367, 3553, 3744, 3940, 4141, 4347, 4558, 4774, 4995, 5221, 5452, 5688.[1]

De heptagonale getallen volgen vanaf 0 het stramien oneven, oneven, even, even. Het vijfvoud van een heptagonaal getal plus 1 is een driehoeksgetal.

Voortbrengende functie[bewerken | brontekst bewerken]

De voortbrengende functie voor de heptagonale getallen is:[2]

Generalisatie[bewerken | brontekst bewerken]

Door in de formule

ook negatieve waarden van toe te laten, ontstaan de gegeneraliseerde heptagonale getallen. Naast de gewone heptagonale getallen zijn dit: 4, 13, 27, 46, 70, 99, ... De eerste gegeneraliseerde heptagonale getallen zijn dus:

0, 1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112.[3]

Elk tweede getal in deze rij is een gewoon heptagonaal getal.

Het blijken de getallen te zijn waarvoor het getal als cijferreeks, dus als getal een kwadraat is.

Immers

en ook

Ook de gegeneraliseerde heptagonale getallen de partiële sommen van de rij:

dus de rij 0,1,3,3,6,5,9,7,12,9,...

De partiële som is:

waarin

het -de driehoeksgetal voorstelt.

De gegeneraliseerde heptagonale getallen voldoen dus aan de relatie:

Behalve 1 en 70 is geen enkel gegeneraliseerd heptagonaal getal een oplossing van de Vergelijking van Pell.[4]