Automorf getal

In de wiskunde is een automorf getal een getal waarvan het kwadraat "eindigt" op het getal zelf. Zo is 5 een automorf getal, want 5² = 25 dat eindigt op een 5, evenals 76, want 76² = 5776 en 890625 omdat 890625² = 793212890625.

De eerste automorfe getallen zijn: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625

Gegeven een $k$-cijferig automorf getal $n>1$, wordt een ten hoogste $2k$-cijferig automorf getal $n'$ gevonden met de formule

$n'=3\cdot n^{2}-2\cdot n^{3}{\bmod {10^{2k}}}$

Bijvoorbeeld wordt bij $n=6$ het automorfe getal $n'$ gevonden dat gelijk is aan:

$n'=108-432{\bmod {100}}=76$

Voor $k>1$ zijn er ten hoogste twee automorfe getallen met $k$ cijfers, een eindigend op 5 en een eindigend op 6. (Voor $k=1$ zijn er drie.) Een van hen heeft de vorm

$n\equiv 0{\pmod {2^{k}}},n\equiv 1{\pmod {5^{k}}}$,

de ander heeft de vorm

$n\equiv 1{\pmod {2^{k}}},n\equiv 0{\pmod {5^{k}}}$.

De som van de twee is $10^{k}+1$.

Elk getal bestaande uit de laatste $k$ cijfers ($k\leq 1000$) van het volgende 1000-cijferige getal is een automorf getal:

12781 25400 13369 00860 34889 08436 40238 75765 93682 19796
26181 91783 35204 92704 19932 48752 37825 86714 82789 05344
89744 01426 12317 03569 95484 19499 44461 06081 46207 25403
65599 98271 58835 60350 49327 79554 07419 61849 28095 20937
53026 85239 09375 62839 14857 16123 67351 97060 92242 42398
77700 75749 55787 27155 97674 13458 99753 76955 15862 71888
79415 16307 56966 88163 52155 04889 82717 04378 50802 84340
84412 64412 68218 48514 15772 99160 34497 01789 23357 96684
99144 73895 66001 93254 58276 78000 61832 98544 26232 82725
75561 10733 16069 70158 64984 22229 12554 85729 87933 71478
66323 17240 55157 56102 35254 39949 99345 60808 38011 90741
53006 00560 55744 81870 96927 85099 77591 80500 75416 42852
77081 62011 35024 68060 58163 27617 16767 65260 93752 80568
44214 48619 39604 99834 47280 67219 06670 41724 00942 34466
19781 24266 90787 53594 46166 98508 06463 61371 66384 04902
92193 41881 90958 16595 24477 86184 61409 12878 29843 84317
03248 17342 88865 72737 66314 65191 04988 02944 79608 14673
76050 39571 96893 71467 18013 75619 05546 29968 14764 26390
39530 07319 10816 98029 38509 89006 21665 09580 86381 10005
57423 42323 08961 09004 10661 99773 92256 25991 82128 90625

Door het gevonden getal van $10^{k}+1$ af te trekken vinden we het andere $k$-cijferige automorfe getal.

Externe link

• Automorphic number op MathWorld

Bronnen, noten en/of referenties