Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde , die gedefinieerd is als
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t}
voor complexe getallen
x
{\displaystyle x}
en
y
{\displaystyle y}
waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in
x
{\displaystyle x}
en
y
{\displaystyle y}
, wat wil zeggen dat
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
{\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}
.
De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie ; er geldt
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
(
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\,{\rm {Re}}(y)>0)}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
(
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
y
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
1
+
x
+
y
n
(
1
+
x
n
)
(
1
+
y
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}}
Er is een goniometrische vorm van de Bètafunctie:
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
2
(
sin
t
)
2
x
−
1
(
cos
t
)
2
y
−
1
d
t
{\displaystyle B(x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ {(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}}\,\mathrm {d} t}