Benadering van pi

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Dit artikel behandelt twee meetkundige benaderingen van .

Benadering van Kochański[bewerken]

Adam Adamandy Kochański (16311700)[1] was een Pools wiskundige, klokkenmaker en natuurkundige die verbonden was aan het hof van Jan III Sobieski, koning van Polen van 1674 tot 1696. Kochański publiceerde in 1685 zijn meest bekende werk, Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae, dat gaat over de kwadratuur van de cirkel. In dat artikel komt ook een constructie voor waarmee het getal wordt benaderd.[2]

Benaderingsconstructie van π door Kochański

Op de middellijn van een cirkel met middelpunt en straal liggen op de loodlijnen in en op die middellijn, beide aan dezelfde kant daarvan, de punten en , waarbij en . Nu is: . Verder is het punt de loodrechte projectie van op de lijn .
Dan is in de rechthoekige driehoek :

Zodat:

Kochański's benadering van is (in 6 decimalen): .

Het verschil van deze waarde met de exacte waarde van (= de lengte van de halve cirkel) is . Als de straal van de cirkel is, dan is de fout in de benadering van dus .

Benadering van Mascheroni[bewerken]

Lorenzo Mascheroni (17501800) was een Italiaans wis- en natuurkundige. In 1797 publiceerde hij zijn boek Geometria del Compasso[3], waarin hij bewijst dat elke zogeheten passer-en-liniaal-constructie met passer alleen kan worden uitgevoerd. In dat boek geeft hij ook een constructie waarmee het getal wordt benaderd.

Benaderingsconstructie van π door Mascheroni

Op de cirkel met middellijn , middelpunt en straal , liggen de punten en zó, dat . Het punt ligt op de middelloodlijn van zó, dat . Het punt is het snijpunt van de cirkel met de ‘basiscirkel’.
In de rechthoekige driehoek is nu , zodat in de rechthoekige driehoek geldt:

Is het snijpunt van en , dan is in driehoek :

Dus is . Voor in de gelijkbenige driehoek is dan:

Zodat: . En .

Mascharoni's benadering van is (in 6 decimalen): .

Deze waarde verschilt met de exacte waarde van (= de lengte van de halve cirkel). Als de straal van de cirkel gelijk is aan , dan is de fout in de benadering van daarbij .

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]

Bronnen[bewerken]

  • P. Molenbroek (1924): Leerboek der vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V., 8e druk (1939); pp. 389-403.
  • L. Berggren, J. & P. Borwein (2003): Pi, a source book. New York: Springer-Verlag, 3rd edition; pag. 294, pag. 297.

Noten[bewerken]

  1. (en) Adam Adamandy KochańskiWikipedia
  2. A.A. Kochański (1685): Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae. In: Acta Eruditorum, vol. 4; pp. 394-398.
  3. L. Mascheroni (1797): Geometria del Compasso. Pavia (I): Eredi di Pietro Galeazzi.