Clootcransbewijs

Standbeeld van Simon Stevin, door Louis Eugène Simonis (1811-1893) op het Simon Stevinplein te Brugge -- detail.

Schematische voorstelling van het Clootcransbewijs.

Het clootcransbewijs van Simon Stevin is een gedachte-experiment. Stevin gebruikte dit experiment om te bewijzen hoe krachten werken op voorwerpen op een helling. Hij gebruikt in zijn bewijs een paar heel krachtige technieken:

• het voorstellingsvermogen en de praktische ervaring van zijn publiek, dus het "gezonde boerenverstand" wordt aangesproken.
• het bewijs uit het ongerijmde.

Stevin zelf was ook nogal ingenomen met dit sprekende en eenvoudige bewijs. Hij gebruikte de afbeelding van de "clootcrans" (cloot = kogel, bol) als een soort persoonlijk embleem en op de titelpagina van zijn boek De Beghinselen der Weeghconst.

De stelling luidt:

Twee voorwerpen op een hellend vlak houden elkaar in evenwicht als hun gewichten zich verhouden als de lengte van de vlakken.

Het bewijs gaat als volgt:

• Stel er is een driehoek met twee niet-gelijke hellingen.
• We hangen om deze driehoek een kralensnoer (clootcrans) met gelijke kralen op gelijke afstanden.
• Stel dat het koord gewichtsloos is en alles wrijvingsloos kan bewegen.
• Het aantal kralen op de linkerhelling is kleiner dan die op de rechterhelling.
• Als de krachten zich NIET verhouden als de lengte van de helling dan is de kralenketting niet in evenwicht.
• Het kralensnoer zal gaan bewegen... ófwel linksom, ófwel rechtsom.
• "De cloten sullen uyt haer selven een eeuwich roersel maken, 't welck valsch is".

Stevin gaat ervan uit dat iedereen inziet dat zo'n perpetuum mobile niet kán bestaan. De enige overblijvende mogelijkheid is dus dat de stelling juist is: dat de effectieve kracht van de kralen op de hellingen zich moeten verhouden als de lengte van de (tegenoverliggende) hellingen.

Onze moderne aanpak bevestigt deze conclusie.

In bijgaande tekening liggen er 4 kralen op de linkerhelling, en 8 op de rechterhelling. De krachtcomponent langs de helling gelijk aan de zwaartekracht x sin(hellingshoek) oftewel:

$F_{//}=m\,g\,\sin({\textrm {hellingshoek}})$

De sin(α) moet dus 2x zo groot zijn als sin(β) en dat klopt als de linkerhelling half zo lang is als de rechterhelling en dat is zo. De beide krachten langs de hellingen links en rechts vanaf de top zijn inderdaad in evenwicht:

$\sin \alpha =2\,\sin \beta$

$F_{//,{\textrm {links}}}=4\,m\,g\,\sin \alpha =F_{//,{\textrm {rechts}}}=8\,m\,g\,\sin \beta$

met
F_// = kracht (in Newton) langs de helling gericht
m = massa van een kraal (in kg)
g = zwaartekrachtsversnelling (in ms^-2)

Mediabestanden

Zie de categorie Clootcrans van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.