Concrete categorie

In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een concrete categorie vaak opgevat als een categorie, waarvan de objecten gestructureerde verzamelingen zijn, wier morfismen structuurbehoudende functies zijn, en wier samenstellende operatie de samenstelling van functies is. De formele definitie komt niet helemaal overeen met deze intuïtie.

De categorie van verzamelingen en functies, Set is een triviale concrete categorie, aangezien elke verzameling als de drager van een triviale structuur kan worden gezien. Andere belangrijke voorbeelden zijn Top, de categorie van topologische ruimten en continue functies en Grp, de categorie van groepen en groepshomomorfismen.

Definitie

Een concrete categorie is een paar (C,U) zodat

• C een categorie is en
• U een trouwe functor C → Set is.

De functor U moet als een trouwe functor worden gezien, die aan elk object van C diens "onderliggende verzameling", en aan elk morfisme in C diens "onderliggende functie" toewijst.

Een categorie C is concretiseerbaar als er een concrete categorie (C,U) bestaat; dat wil zeggen, als er een trouwe functor U:C → Set bestaat.