Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De Farlie-Morgernsternfamilie is een familie van tweedimensionale verdelingsfuncties , voortgebracht door twee eendimensionale verdelingsfuncties.
Laat
F
{\displaystyle F}
en
G
{\displaystyle G}
twee eendimensionale verdelingsfuncties zijn. De Farlie-Morgensternfunctie is een tweedimensionale verdelingsfunctie van stochastische variabelen
X
{\displaystyle X}
en
Y
{\displaystyle Y}
die wordt gedefinieerd[1] als
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
=
H
(
x
,
y
)
=
F
(
x
)
G
(
y
)
(
1
+
α
(
1
−
F
(
x
)
)
(
1
−
G
(
y
)
)
)
{\displaystyle P(X\leq x,Y\leq y)=H(x,y)=F(x)G(y)(1+\alpha \left(1-F(x))(1-G(y))\right)}
waarin
α
{\displaystyle \alpha }
een parameter is waarvoor moet gelden
|
a
|
≤
1
{\displaystyle |a|\leq 1}
.
De marginale verdelingsfuncties
F
X
{\displaystyle F_{X}}
van
X
{\displaystyle X}
en
F
Y
{\displaystyle F_{Y}}
van
Y
{\displaystyle Y}
zijn juist respectievelijk
F
{\displaystyle F}
en
G
{\displaystyle G}
:
F
X
(
x
)
=
lim
y
→
∞
H
(
x
,
y
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }H(x,y)=F(x)}
,
F
Y
(
y
)
=
lim
y
→
∞
H
(
x
,
y
)
=
G
(
y
)
{\displaystyle F_{Y}(y)=\lim _{y\to \infty }H(x,y)=G(y)}
.
Voor
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
geldt
H
(
x
,
y
)
=
F
(
x
)
G
(
y
)
{\displaystyle H(x,y)=F(x)G(y)}
, en dan zijn
X
{\displaystyle X}
en
Y
{\displaystyle Y}
onafhankelijk .
Als men voor
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
en
G
(
y
)
{\displaystyle G(y)}
uniforme verdelingen neemt, is
H
(
x
,
y
)
{\displaystyle H(x,y)}
een copula .
Bronnen, noten en/of referenties
↑ Rice, John, Mathematical Statistics and Data Analysis, Third Edition, Brooks/Cole, 2007, Chapter 3, Section 3.3, Example C, p.77