Uniforme verdeling (continu)
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters
a
,
b
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle a,b\in (-\infty ,\infty )}
Drager
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
Kansdichtheid
{
1
b
−
a
voor
a
<
x
<
b
0
voor
x
≤
a
of
x
≥
b
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{voor }}a<x<b\\0&{\text{voor}}\ x\leq a\ {\text{of }}x\geq b\end{cases}}}
Verdelingsfunctie
{
0
voor
x
<
a
x
−
a
b
−
a
voor
a
≤
x
<
b
1
voor
x
≥
b
{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{voor }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{voor }}a\leq x<b\\1&{\text{voor }}x\geq b\end{cases}}}
Verwachtingswaarde
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Mediaan
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Modus
N/A
Variantie
(
b
−
a
)
2
12
{\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
Scheefheid
0
{\displaystyle 0}
Kurtosis
−
6
5
{\displaystyle -{\frac {6}{5}}}
Entropie
ln
(
b
−
a
)
{\displaystyle \ln(b-a)}
Moment-
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
Karakteristieke functie
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
De continue uniforme verdeling is een verdeling op een interval met constante kansdichtheid , wat inhoudt dat er geen voorkeur is voor enige waarde uit dat interval. De kansdichtheid
f
{\displaystyle f}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
voor
a
<
x
<
b
0
elders
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{voor }}a<x<b\\\\0&{\text{elders}}\end{cases}}}
Voor elk deelinterval
(
x
,
x
+
Δ
)
{\displaystyle (x,x+\Delta )}
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
/
(
b
−
a
)
{\displaystyle \Delta /(b-a)}
De uniforme verdeling kan ook beschouwd worden op half open of gesloten intervallen. De functiewaarden van de dichtheid in de eindpunten van het interval doen niet terzake. In alle gevallen is de verdelingsfunctie dezelfde:
F
(
x
)
=
{
0
voor
x
<
a
x
−
a
b
−
a
voor
a
≤
x
<
b
1
voor
x
≥
b
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{voor }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{voor }}a\leq x<b\\1&{\text{voor }}x\geq b\end{cases}}}
De verwachtingswaarde
E
X
{\displaystyle \mathrm {E} X}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
stochastische variabele
X
{\displaystyle X}
variantie
v
a
r
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {var} (X)}
E
X
=
a
+
b
2
{\displaystyle \mathrm {E} X={\frac {a+b}{2}}}
en
v
a
r
(
X
)
=
(
b
−
a
)
2
12
{\displaystyle \mathrm {var} (X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
