Hyperexponentiële verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De hyperexponentiële verdeling is een continue kansverdeling.

Definitie[bewerken]

Een stochast X is hyperexponentieel verdeeld als X met een kans p_i\,,i=1,...,n een exponentiële verdeling Xi aanneemt met parameter λi. De dichtheid is gegeven door:

f_X(x)=\sum_{i=1}^np_i\,\lambda_{i}e^{-\lambda_{i}x}

Omdat de verwachte waarde van een som gelijk is aan de som van de verwachte waarden, is de verwachting van X gelijk aan:

  \mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\,xf_X(x)\,\operatorname{d}x =p_1 \int_0^{\infty}\,x\lambda_{1} e^{-\lambda_{1} x} \operatorname{d}x+p_2 \int_0^{\infty}\,x\lambda_{2} e^{-\lambda_{2} x} \operatorname{d}x+\cdots +p_n \int_0^{\infty}\,x\lambda_{n} e^{-\lambda_{n} x} \operatorname{d}x
=\sum_{i=1}^n\,\frac{p_i}{\lambda_{i}}

Voor de momentgenererende functie van een hyperexponentieel verdeelde stochast X vinden we:

 
m_X(t) \overset{\mbox{def}}{=} \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{0}^{\infty}e^{tx}f_{X}(x)dx 
                                                                                    = \sum_{i=1}^{n}p_i \left ( \int_{0}^{\infty}e^{tx}\lambda_ie^{-\lambda_ix}dx\right )
= \sum_{i=1}^{n}p_im_{X_i}(t)
= \sum_{i=1}^{n}p_i \left ( \frac{\lambda_i}{\lambda_i-t}\right)